Вопрос 34

Свойства дисперсии.

0. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.

1. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.

2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз к соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в раз, а среднее квадратическое отклонение - в к раз.

3. Дисперсия признака относительно произвольной величины всегда больше дисперсии относительно средней арифметической на квадрат разности между средней и произвольной величиной: . Если А равна нулю, то приходим к следующему равенству:, т.е. дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней.

Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено самостоятельно или в сочетании с другими.

Вопрос 35 Способ моментов

Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии.

Порядок расчета дисперсии простой:

1) определяют среднюю арифметическую ;

2) возводят в квадрат среднюю арифметическую;

3) возводят в квадрат каждую варианту ряда ;

4) находим сумму квадратов вариант ;

5) делят сумму квадратов вариант на их число, т.е. определяют средний квадрат ;

6) определяют разность между средним квадратом признака и квадратом средней .

Рассмотрим расчет дисперсии в интервальном ряду распределения.

Порядок расчета дисперсии взвешенной (по формуле ):

1. определяют среднюю арифметическую ;

2. возводят в квадрат полученную среднюю ;

3. возводят в квадрат каждую варианту ряда ;

4. умножают квадраты вариант на частоты ;

5. суммируют полученные произведения ;

6. делят полученную сумму на сумму весов и получают средний квадрат признака ;

7. определяют разность между средним значением квадратов и квадратом средней арифметической, т.е. дисперсию .

Пример 7.

Имеются следующие данные о распределении посевной площади колхоза по урожайности пшеницы:

Таблица 6.6

Урожайность пшеницы, ц/га	Посевная площадь, га
14 - 16	100	15	1500	225	22500
16 - 18	300	17	5100	289	36700
18 - 20	400	19	7600	361	144400
20 - 22	200	21	4200	441	88200
ИТОГО	1000		18400		341200

В подобных примерах прежде всего определяется дискретное значение признака в каждом интервале, а затем применяется метод расчета, указанный выше:

Средняя величина отражает тенденцию развития, т.е. действие главных причин. Среднее квадратическое отклонение измеряет силу воздействия прочих факторов.

Вопрос 36 Виды дисперсии и правило сложения дисперсии

Изучая дисперсию, интересующего нас признака в пределах исследуемой совокупности, и, опираясь на общую среднюю в своих расчетах, мы не можем определить влияния отдельных факторов, характеризующих колеблемость индивидуальных значений признака.

Это можно сделать при помощи группировок, подразделив изучаемую совокупность на группы, однородные по признаку – фактору. При этом можно определить 3 показателя колеблемости признака в совокупности:

- общую дисперсию;

- межгрупповую дисперсию;

- среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Общая дисперсия _о²характеризует вариацию признака, которая зависит от всех условий в данной совокупности

, (33)

где - общая средняя для всей изученной совокупности.

Межгрупповая дисперсия ²отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака – фактора, положенного в основу группировки. Она характеризует колеблемость групповых (частных) среднихоколо общей средней.

, (34)

где - средняя по отдельным группам;

- средняя общая;

- численность отдельных групп.

Средняя внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Эта вариация возникает под влиянием других, неучитываемых факторов и не зависит от условия (признака – фактора), положенного в основу группировки.

. (35)

Правило сложения дисперсий

. (36)

Общая дисперсия равна сумме величин межгрупповой дисперсии и средней из внутригрупповых дисперсий.

Это правило (закон) сложения вариаций (дисперсий) имеет большую практическую значимость, т.к. позволяет выявить зависимость результатов от определенных факторов соотношением межгрупповой ² и общей дисперсии_о² (коэффициент детерминации)

(37)