Гидростатика сила давления жидкости на плоскую стенку. Центр давления

Выделим на плоской боковой стенке сосуда, наклоненной в общем случае к горизонту под угломα, произвольную фигуру площадью F и определим действующую на нее со стороны жидкости силу давления Р. рассматриваемую стенку с плоскостью чертежа (т. е. повернем ее на 90° вокруг оси у).

Так как давление жидкости в различных по высоте точках площади F разное, то выделим на этой площади элементарную площадку, находящуюся на расстоянии h от свободной поверхности жидкости или у = h/sinα от оси X. Для такой бесконечно малой площади давление во всех ее точках одинаково и равно р= ρgh = ρgy sin α, следовательно, сила давления жидкости на элементарную площадку будет

Сила давления на всю рассматриваемую площадь F

Выражение представляет собой статический момент рассматриваемой площади относительно оси х, который равен произведению площади этой фигуры F на расстояние от ее центра тяжести до оси х, т. е. y_cF.

Таким образом, или, заменяя, получим

.

Из уравнения видно, что сила давления жидкости на плоскую стенку Р равна произведению смоченной жидкостью площади стенки F на гидростатическое давление в ее центре тяжести.

В ряде случаев, кроме значения силы давления жидкости на стенку, необходимо знать координаты точки ее приложения - центра давления.

Предположим, что сила давления Р приложена в точке D, находящейся от оси х на расстоянии у_D. В соответствии с теоремой Вариньона о моменте равнодействующей (момент равнодействующей силы относительно какой-либо оси равен сумме моментов составляющих сил относительно той же оси)

.

Заменив в последнем выражении Р и dP их значениями, получим

.

Вынесем постоянные за знак интеграла и сократим их с аналогичными величинами в левой части уравнения

.

Выражение представляет собой момент инерции площади фигуры относительно оси х - J_x, который может быть выражен через момент инерции J_c относительно центральной оси, параллельной оси х, следующим образом:

.

Тогда

,

откуда

.

Из уравнения видно, что центр давления для плоской стенки находится всегда ниже ее центра тяжести.

Горизонтальная координата центра давления х_d находится на оси симметрии площади фигуры.

В частном случае, когда α = 0, т. е. для горизонтального дна сосуда, расстояние от свободной поверхности до центра тяжести площади h_c будет равно высоте жидкости в сосуде Н, поэтому сила давления жидкости на дно сосуда

Р = ρgHF.

Из этого выражения видно, что различные по форме сосуды, имеющие одинаковые площади доньев и заполненные одинаковой жидкостью на одну и ту же высоту, будут иметь одинаковую силу давления на дно независимо от формы сосуда и количества находящейся в нем жидкости (гидростатический парадокс). Центр давления, для дна сосуда совпадает с центром тяжести площади.

Сила давления жидкости на криволинейную стенку

При криволинейной стенке определение значения, направления и точки приложения силы давления жидкости усложняется, так как элементарные силы давления, действующие нормально на каждую элементарную площадку стенки, имеют разные направления. В этом случае с целью упрощения (чтобы избежать интегрирования по криволинейной поверхности) приходится определять вначале составляющие силы давления по заданным направлениям, например по осям координат х, у, z, а затем находить результирующую силу давления

.

Практически приходится иметь дело с криволинейными стенками, представляющими собой поверхности вращения (сферу, цилиндр, конус) и имеющими ось симметрии, лежащую в плоскости, нормальной к стенке, что существенно упрощает определение силы давления жидкости.

Определим силу давления жидкости Р на криволинейную стенку цилиндрической формы.

Как и в предыдущем случае, выделим на стенке элементарную площадку dF (след ее на - линия тп), находящуюся на расстоянии z от свободной поверхности. Сила давления жидкости на эту элементарную площадку

.

Разложим dP на две взаимно перпендикулярные составляющие: горизонтальную dP_x = dP cos а и вертикальную dP_z = dP sin а и просуммируем отдельно все горизонтальные и все вертикальные составляющие. Ввиду малости элементарной площадки примем ее за плоскую и спроектируем на горизонтальную и вертикальную плоскости. (Проекции dF будут: dF_x=dF sinα и dF_y = dF cosα.

Найдем горизонтальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку Р_х, которая представляет собой сумму всех элементарных горизонтальных составляющих dP_x. Так как dP_x = dP cosα = ρgz dF cos α = ρgz dF_z, то

,

где - статический момент площади вертикальной проекции криволинейной стенки относительно оси х, проходящей по свободной поверхности жидкости; F_z - площадь вертикальной проекции смоченной жидкостью криволинейной стенки; h_c - расстояние центра тяжести F_z от свободной поверхности жидкости. Тогда

.

Таким образом, горизонтальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе давления жидкости на ее вертикальную проекцию.

Найдем вертикальную составляющую силы давления жидкости на криволинейную стенку Р_z, которая представляет собой сумму всех элементарных вертикальных составляющих dP_z. Так как dP_z =dP sin α =ρgzdF sin α =ρgzdF_x =ρgdV, где dV =zdF_x - элементарный объем жидкости, основанием которого является площадка dF_x, а высотой - расстояние от этой площадки до свободной поверхности жидкости z, то, проинтегрировав dP_x по всему объему V, получим

или

.

Таким образом, вертикальная составляющая силы давления жидкости на криволинейную стенку равна силе тяжести жидкости в объеме V, называемом телом давления.

Результирующая сила давления жидкости на криволинейную стенку цилиндрической, формы Р равна геометрической сумме составляющих

и направлена под углом α к горизонту

.