Движение жидкости в пористых средах

Движение жидкости в пористой среде называют фильтрацией. Под пористой средой понимают почвы, грунты, горные породы и другие материалы, частицы которых неплотно прилегают друг к другу, образуя связанные между собой пустоты (поры), через которые происходит движение жидкости. Вследствие небольших сечений пор, фильтрационные потоки, как правило, относятся к ламинарным. Всякая реальная пористая среда имеет случайную микроструктуру, поэтому невозможно определить распределение истинных скоростей жидкости в порах и приходится ограничиваться рассмотрением их определенных характеристик.

Под скоростью фильтрации понимают отношение объемного расхода жидкости Q, протекающей через произвольное сечение S, к его величине

.

При этом следует иметь ввиду, что сечение S должно во много раз превышать размеры частиц, формирующих пористую среду. Очевидно, что величина и меньше истинной скорости жидкости в порах, т.к. суммарная площадь пор S_n в несколько раз меньше S. Отношение суммарной площади пор в сечении к общей площади сечения называют поверхностной пористостью или порозностью n

.

Под объемной пористостью т понимают отношение объема порового пространства V_n к общему объему пористой среды V

.

Обычно считается, что поверхностная п и объемная т пористости в среднем численно совпадают. В реальных грунтах величина пористости находится в пределах т = 0,3 - 0,5.

Осредненная истинная скорость движения жидкости в сечении площадью S равна

.

Отсюда .

В расчетах обычно пользуются скоростью фильтрации и, т.к. она позволяет рассматривать фильтрационные потоки как бы заполняющими все пространство, включая и объем самого грунта, что позволяет использовать обычную форму уравнения неразрывности потока.

В связи с изложенным, в дальнейшем поток грунтовых вод будет рассматриваться как заполняющий все занимаемое им пространство, а скорость фильтрации - как непрерывная функция координат.

Ввиду того, что режим течения жидкости в порах ламинарный, потери напора пропорциональны скорости ее движения в первой степени. Эта зависимость впервые была установлена экспериментально при исследованиях течения воды в песчаных фильтрах французским инженером Дарси и получила название закона Дарси или линейного закона фильтрации. Прибор, служащий для определения закона фильтрации, состоит из цилиндра, заполненного фильтрующим материалом, в который сверху подводится вода. Снизу к цилиндру присоединена трубка для отвода воды, а на расстоянииL друг от друга в пределах фильтрующего столба присоединены два пьезометра, показывающие потери напора ΔН на участке длиной L.

Из опытов получается зависимость

,

где S - площадь внутреннего сечения цилиндра;

i - гидравлический уклон;

c - постоянный коэффициент с размерностью скорости, зависящий от материала пористой среды и фильтруемой жидкости, называемый коэффициентом фильтрации.

Для потока капельной жидкости отношение потерь напора к длине потока (трубопровода) называется гидравлическим уклоном

.

Гидравлический уклон – величина безразмерная, характеризующая потерю напора на единицу длины.

Закон Дарси часто записывают в дифференциальной форме

,

где dH - изменение пьезометрического напора вдоль оси х на участке длиной dx.

Коэффициент фильтрации с часто выражают через коэффициент проницаемости к

,

где ρ – плотность жидкости,

μ и ν - коэффициенты ее динамической и кинематической вязкости.

Коэффициент проницаемости, имеющий размерность площади, постоянен для данной пористой среды и не зависит от рода фильтруемой жидкости. Им часто пользуются при изучении движения в грунтах различных несмешивающихся жидкостей. На практике в качестве единицы измерения проницаемости принимают величину 1,02·10^-12 м². Эту единицу называют дарси и обозначают 1 D.

Закон Дарси соблюдается в весьма широкой области изменения скорости фильтрации. Границей его применения считают критическое значение гидравлического уклона i_к=500. При больших значениях i появляются заметные отклонения от линейной зависимости , и закон фильтрации аппроксимируют двучленной зависимостью

.

Квадратичная зависимость потерь напора от скорости фильтрации наблюдается лишь в каменном наброске.

Ориентировочные коэффициенты фильтрации с, см/с, составляют для гравия 0,1; песка и супесков плотных 0,01 – 0,001; суглинков 10^-4 – 10^-5; глин 10^-5 – 10^-8.

Рассмотрим осесимметричное установившееся безнапорное движение грунтовых вод по горизонтальному водонапорному (непроницаемому для воды) слою пород к круглому колодцу радиусомr_o, из которого непрерывно откачивается вода. Начало цилиндрических координат (z, r, Θ) разместим в пересечении вертикальной оси OZ с плоскостью водоупорного слоя.

Пусть уровень воды в колодце до начала ее откачивания составлял Н. Такой статический уровень имеет вода в грунте на большом расстоянии от оси колодца (на радиусе, большем радиуса влияния колодца R_k). При откачивании воды с расходом Q = const (дебит), уровень воды в колодце установится на высоте h. Требуется определить величину Q.

Обозначим уровень воды в грунте над водоупорным слоем на расстоянии r равным z.

В соответствии с законом Дарси можно написать уравнение притока воды в колодец

.

После разделения переменных и интегрирования, находим

,

где С - произвольная постоянная. Приняв в качестве граничного условия, что при , находим постоянную интегрирования. Так как по условию при можем написать в окончательном виде

.

Радиус влияния колодца можно определить по формуле Зихардта

,

где H и h подставляются в м, а с - в м/с.

Практический интерес в горном производстве представляют расчеты водопритоков в дренажные траншеи, обеспечивающие осушение площадей, на которых ведутся горные или строительные работы. Рассмотрим траншею с вертикальными стенками глубиной H и длиной l, проведенную в водоносном пласте. Для определения удельного расхода (водопритока) , приходящегося на единицу длины траншеи, зададим систему координатxoz, где х - координатная ось, направленная перпендикулярно оси траншеи в плоскости пласта, a z - перпендикулярно плоскости пласта. Начало координатных осей поместим на середине дна траншеи. Дифференциальное уравнение водопритока с двух сторон траншеи имеет вид

.

В результате интегрирования этого уравнения получаем

.

Ширина зоны понижения уровня грунтовых вод под влиянием траншеи определяется по эмпирической зависимости

,

где h - уровень воды в траншее;

i_ср - средний уклон кривой депрессии, зависящий от вида грунта, составляющего водоносный пласт.

Для грунтов, образованных галькой и крупным песком, принимают i_cp = 0,003 - 0,005, для песчаных грунтов - i_cp = 0,005 – 0,015, для песчано-глинистых грунтов - i_ср = 0,05 - 0,1, для глинистых - i_cp = 0,1.

Задавшись находим постоянную интегрирования. Отсюда общее решение уравнения имеет вид

.

На его основе можно построить кривую депрессии (свободной поверхности жидкости) в водоносном пласте.

Обозначив b - половину ширины траншеи и приняв, что при х = b, z = h находим водоприток, приходящийся на единицу длины траншеи

,

а полный водоприток с двух сторон траншеи будет составлять

.