Уравнение количества движения жидкости

В некоторых случаях в гидравлике удобно применять уравнение количества движения (импульса сил), например когда надо найти силу воздействия потока на преграду или русло, не рассматривая процессы, проходящие внутри потока жидкости. Для материального тела массой m, движущегося со скоростью v, изменение количества движения за время dt вследствие действия силы F выразится векторным уравнением

,

где - приращение количества движения, обусловленное импульсом.

Если применить эту теорему механики к участку потока с расходомQ между двумя сечениями 1 и 2 в условиях установившегося течения, то теорема относится к массовому расходу, т.е. к массе жидкости, проходящее через заданное сечение в 1 с. Так как объемы элементов 1 и 2 одинаковы, а следовательно, и их массы, поэтому приращение количества движения будет равно . Оно обусловлено приращением всех внешних сил, действующих на объем жидкости между сечениями. Тогда

.

В случае приращение времени численно равно единице, и теорема представляется уравнением

.

Таким образом, при установившемся движении вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих на жидкость в фиксированном объеме, равен геометрической разности количеств движения жидкости, вытекающей из этого объема и втекающей в него за единицу времени. В этом заключается теорема Эйлера об изменении количества движения жидкого объема.

Это уравнение можно записать и в проекциях на ту или иную ось.

Это явление используют в практике, например для разрушения гидромониторами горных пород, в брандспойтах, в гидротурбинах и т.п.

Рассмотрим случай встречи струи жидкости с плоской, перпендикулярной к оси струи преградой. Жидкость после столкновения с преградой растекается по ее поверхности, т.е. поток поворачивается на 90^о, поэтому проекция скорости на направление ее первоначального движения уменьшается до нуля. Потерянная скорость равна ее абсолютной величине, а расход равен произведению сечения струи на скорость потока. Следовательно, сумма внешних сил есть реакция стенки, равная

.

Сила давления струи на преграду определяется по формуле:

,

где μ и φ – коэффициенты расхода и скорости, .

Для случая, когда препятствие располагается под углом к оси струи, сила давления

.

Если преграда представляет собой криволинейную поверхность, отклоняющую поверхность на 180^о, то сила давления струи

,

т.е. превышает гидростатическое давление в 4 раза. Поэтому рабочие элементы гидротурбин имеют такую форму.

В случае, когда преграда движется в том же направлении, что и жидкость, то сила взаимодействия струи уменьшается:

,

где - скорость перемещения преграды.

Мощность, передаваемая струей плоской преграде,

.

Лекция №8

Режимы движения жидкости

В первой половине XIX века многие исследователи (Хаген, Дарси и другие) обратили внимание на то, что в различных условиях характер и структура потока жидкости могут быть разные. На это указывал также в своей монографии «О сопротивлении жидкостей и о воздухоплавании» (1880 г.) Д.И. Менделеев. В 1883 г. английский физик О. Рейнольдс обосновал теоретически и на очень простых опытах наглядно показал существование двух принципиально различных режимов движения жидкости.

Экспериментальная установка Рейнольдса состоит: 1 – бачек с жидкой краской, имеющей туже плотность, что и испытуемая жидкость; 2 – резервуар с испытуемой жидкостью; 3 – тонкая трубка подвода краски; 4 – прозрачная труба; 5 – кран. Рейнольдс провел на этой установке многочисленные опыты, меняя скорость движения и ее температуру, диаметр трубы, высоту уровня жидкости в резервуаре, род жидкости и другие параметры.

Краска, попав в поток испытуемой жидкости в виде тонкой струйки в центре живого сечения или на его периферии, продолжала на всем протяжении потока двигаться струйкой (или струйками, так как в некоторых опытах Рейнольдс вводил в поток сразу несколько струек по сечению). Это свидетельствует о том, что и частицы испытуемой жидкости движутся также струйчато (слоисто), так как в противном случае (при наличии поперечного перемещения частиц) струйка краски была бы разрушена. Такой режим движения был назван ламинарным.

В других случаях картина течения резко отличается от описанной выше. Струйка краски, войдя в поток, быстро разрушалась, разбиваясь на отдельные частицы краски, так как она перемещалась с испытуемой жидкостью. Это свидетельствует о наличии кроме движения вдоль оси потока также и поперечного перемещения частиц, т.е. довольно сложного движения частиц жидкости. Такой режим движения был назван турбулентным.

Рейнольдс установил, что критерием режима движения жидкости является безразмерная величина, представляющая собой отношение произведения характерной скорости потока v на характерный линейный размер l к кинематической вязкости жидкости υ, которая впоследствии была названа числом Рейнольдса. Для потоков круглого сечения число Рейнольдса может быть вычислено по формуле

.

Для потоков в трубах и руслах не круглого сечения число Рейнольдса может быть вычислено по формуле

.

Значение числа Рейнольдса, соответствующее переходу ламинарного режима движения в турбулентный и наоборот называется критическим. Экспериментальными исследованиями установлено, что для труб круглого сечения значение Re_кр составляет от 1000 до 2320. Общепринятым значением считается . Притечение является ламинарным, при- турбулентным. Точнее говоря, вполне развитое турбулентное течение в трубах устанавливается лишь при, а приимеет место переходная, критическая область.

На практике имеет место как ламинарный, так и турбулентное течение, причем первое наблюдается в основном в тех случаях, когда по трубам движутся весьма вязкие жидкости, например смазочные масла, второе обычно происходит в водопроводах, а также в трубопроводах, по которым протекают бензин, керосин, спирты, кислоты и другие маловязкие жидкости.

Смена режима течения при достижении Re_кр обусловлена тем, что одно течение теряет устойчивость, а другое приобретает. При ламинарное течение является вполне устойчивым: всякого рода искусственная турбулизация потока и его возмущения (сотрясения трубы, введение в поток колеблющегося тела и пр.) погашаются влиянием вязкости и ламинарное течение восстанавливается. Турбулентное течение устойчиво, а ламинарное – неустойчиво.