Центрированные моменты Центральные моменты

Необходимо ввести понятие центральной случайной величины. Таковой будем называть следующую случайную величину:

X = X – M[X];

где X – центр случайной величины,

M[X] – мат. ожидание.

Это величина приведенная к центру, она рассчитана относительно центра.

К-й центральный момент случайной величины х по определению можно определить: _{0 n}

α_к = M[ X^k] = ∑ x_i^k p(x_i)

₀ ⁱ⁼¹

x_{i =} x_i - M[X]

Перепишем в следующем виде:

_{0 n n}

α_к = M[ X^k] = ∑ x_i^k p(x_i) = ∑ (x_i – m_x)^k p(x_i)

^{i=1 i=1}

В первом случае к менялось. Необходимо получить простой образ этого числа. Рассматриваем методологию, ведущую к упрощению.

_n

Если к = 1, то ∑ (x_i – m_x)¹ p(x_i) = 0.

ⁱ⁼¹

Если сумму представить как разность двух сумм, то получим два мат. ожидания с разными числами, и его можно будет вынести за скобку.

Если к = 2, то скобка не равна нулю.

_n

α₂ = D[X]= ∑ (x_i – m_x)² p(x_i)

ⁱ⁼¹

p(x_i) – признак усреднения, вес

Второй центральный момент и называется дисперсией случайной величины. Смысл: нужно представить, что каждая реализация x_i сравнивается с центром математического ожидания. Это сравнение называют ожиданием.

x_i M[X]

Дисперсия случайной величины характеризует среднее расстояние реализации случайной величины от своего центра (мат. ожидания). Две моментные характеристики, которые получили наибольшее распространение это: мат. ожидание и дисперсия, выступающая в качестве разброса реализации от своего центра.

Дисперсия для непрерывной случайной величины

_a

D[X] = ∫ (x – M[X])² f(x) dx

^b

= σ – среднеквадратическое отклонение.

Моменты позволяют получить сведения о случайной величине, как разбросана случайная величина относительно центра.

Коэффициент ассиметрии позволяет получить сведения о таких особенностях.

f(x)

ассиметричное распределение

М[x] x

симметрично относительно математического ожидания

К_а = α³/ σ³ - третий центральный момент; значение коэффициента ассиметрии для случайной величины, распределенное по нормальному значению, т.е. все распределения ранжируются относительно нормального распределения.

Степень 3, если распределение ассиметрично число случаев, когда одни и те же реализации x_i движутся относительно мат. ожидания будут разные, следовательно, интервал отличный от нуля. При нечетном порядке число отрицательных слагаемых в формуле для определения центрального момента будет совпадать с числом положительных слагаемых.

Лекция № 7

- математическое ожидание для дискретной случайной величины

Дисперсия -

среднеквадратическое отклонение

Коэффициент ассиметрии

Коэффициент эксцесса