Лекция №18 Представление об интервальных оценках

В предыдущем параграфе оценка параметров рассматривалась как точка на числовой оси. Точечные или локальные оценки параметров. В практических задачах для ситуации удобно использовать другой взгляд на приближение к истинному значению параметров, т.е. влиять на оценку параметра.

Поскольку параметр может принимать отдельное значение из некоторого множества, то задают на оси некоторый интервал (α,β)

P_д= P{ α ≤ a ≤ β }

α a β

P_д – доверительная вероятность.

Истинное значение параметра будет находиться внутри этого интервала. Такая интерпретация оценки называется интервальной (доверительной) оценкой. Нужно задать 3 числа: g, α, β.

Существует 2 метода получения истинных оценок:

1. Метод, основанный на Баессовском подходе;

2. Подход Фишер-Неймана (метод доверительных интервалов ).

Суть метода, основанного на Баессовском подходе

При первом используют такие предположения: неизвестный параметр а есть случайная величина со случайным распределением w(a). В конкретном опыте имеем дело с какой-то фиксированной реализацией параметра а. При фиксированном а, одним из точечных методов находят оценку параметра а.

Поскольку оценка – это случайная величина, то чтобы она стала известной, нужно задать ее распределение, например, g(a^*/a) – условная плотность распределения оценки a^* при фиксированном значении параметра а.

Задача заключается в нахождении доверительного интервала для а. Формула Байесса позволяет связать наблюдаемое смещение a^* с важной причиной этого следствия.

Переходим к условной плотности появления реализации параметра а, если мы наблюдаем оценку а* в опыте:

- интеграл той области, где определены значения параметра а.

Апосторная вероятность (после опыта):

P{ (k₁ ≤ a ≤ k₂ )/a*} =

Априорная вероятность (до опыта):

P{ k₁ ≤ a ≤ k₂ } =

Метод нужно использовать тогда, когда известно что параметр а - случайная величина, распределенная по известному закону.

Суть метода Фишера-Неймана

При этом методе считается, что параметр а – это неизвестная величина, в частности может быть и случайной величиной. Идея построения доверительных интервалов поясняется следующим графиком:

а*

С₂(а*,ξ) С₁(а*,ξ)

а*

γ₂

а

а₂ а₁

γ₁

На вертикальной оси могут находиться оценки параметра а, при фиксированном значении а. Ось является представлением g(a^*/a) условной плотности появления параметра при его фиксированном значении.

По стержню распределена плотность. Плотность этого стержня будет пропорциональна этой функции:

γ ₁(а,ξ)

γ ₂(а,ξ)

(1)

Выражение (1) означает вероятность того, что значение попадет в этот отрезок. Точки будут двигаться по некоторым правилам γ ₁ и γ _2.

Заштрихованная область означает вероятность того, что оценка в любом случае будет в интервале от γ ₁ до γ _2. Если получим условную плотность, то можно найти доверительный интервал для получения оценок по формуле (1).

Проведем опыт и получим оценку. Пересечения точек, если их спроектировать на ось а. дают нам а₁ и а₂ , которые определяют область изменения параметра а. Если параметр попадет в эту область, то его оценка с заданной вероятностью Р будет находиться в интервале от γ ₁ до γ _2.

Шаг 1: используя один из методов, получения точечных оценок стремится найти условную плотность: g(a^*/a). Если она найдена, то используют соотношение (1), задавая величину Р_д, находят интервалы γ ₁ и γ _2. Если же непосредственно найти условную плотность нельзя найти, то нужно сконструировать вспомогательную случайную величину, для которой может быть найдена условная плотность и для нее составляется уравнение типа (1).

Пример построения доверительного интервала для мат. ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону с известной дисперсией.

(параметр G считается известным)

X = (x₁,x₂,…,x_k) – считается, что провели опыт и сделали выборку. Необходимо найти параметр m_x. Точеной оценкой мат. ожидания является среднеарифметическая оценка:

- среднее значение (является случайной величиной)

имеет тоже нормальный закон распределения:

по теореме Чебышева

;G – среднеквадратичное отклонение

n – объем выборки.

Преобразуем случайную величину, чтобы исключить неизвестные, формируем новую случайную величину:

Закон распределения для η:

=

P{| - m_x| ≤ ξ}= P_д

P{| - m_x| ≤ ξ}=

Ф(ξ) - Ф(-ξ) = 2 Ф(ξ) = P_д

Ф(х) =

P{| - m_x| ≤ ξ}= P_д

Ф(ξ) = P_д/2

P_д – вероятность того, что модуль не превысит ξ.

|- m_x| =|η| ≤ ξ

F(x)

1

P_д

x tg

- интервальная оценка m_x

- точечная оценка или среднее значение.

Проверка статистических гипотез

К задаче проверки статистических гипотез обращаются в тех случаях, если исследователю неизвестна функция распределения случайной величины х. Это означает, что он выдвигает статистическую гипотезу.

F*(x) = F_т(x), где F*(x) – это эмпирическая функция распределения. Исследователь задает значения параметров, например, F_т(x)=1-е^-0,7х – экспоненциальная величина. Исследователь должен записать конкретно значения параметров, например, 1-е^-0,7х.

В качестве количественных значений параметров используют оценки полученные либо по методу подобия, либо по методу min χ².