Лекция № 11 Теорема числовых характеристик

В практических задачах моделирования явления информационных процессов можем использовать интегрированные характеристики случайных явлений (в этом случае используют результаты, изученные в теории вероятности), и определяют объединяемые названия.

В теорему о числовых характеристиках входят следующее:

Если понадобится математическая характеристика о случайной величине

1) M[a] = =a

Мат. ожидание от неслучайной величины есть сама случайная величина.

2) Дисперсия – это неслучайная величина D[a]

D[x] =

3)

- вероятность попадания случайной величины х.

4) D[aX] =

5) Дана сумма 2-х случайных величин x и y. Найти мат. ожидание этой суммы x+y :

M[x+y] = =

=M[X]+M[Y]

Существует ли между случайными величинами стохастическая зависимость или нет. Теорема справедлива и для произвольного числа слагаемых:

6) Дисперсия суммы 2-х случайных величин x и y. Определяется как сумма дисперсий, корреляционный момент.

D[x+y] = D[x]+D[y] +2k(x,y)

Если случайные величины не коррелированны, то k(x,y) = 0

7) Произведение 2-х случайных величин x и y.

M[xy] = M[x]M[y] +k(x,y)

8) Дисперсия произведения 2-х случайных величин x и y.

D[xy] = D[x]D[y] +m_x²D[y]+ my²D[x]

Предельные теоремы

Назначение этих теорем заключается в обосновании практического применения числовых характеристик и законов распределения случайной величины. Все эти параметры вероятностных моделей, но введены они в качестве

абстрактных объектов.

Вероятностные свойства могут быть обоснованы экспериментальными данными, на сколько близко могут быть получены дисперсия и функция распределения.

Предельные теоремы делят на 2 группы:

1. теоремы законов больших чисел (они касаются моментных характеристик);

2. центральные предельные теоремы.

а M[x] b

x = (x₁,x₂,…,x_n)

- это выборочное среднее, т.е. среднее находится на выборке. Возникает необходимость оценить величину отличия между иM[x].

Теорема Чебышева

Рассмотрим неравенство Чебышева. Пусть х непрерывная случайная величина.

-ξ M[x] + ξ

Рассмотрим область такую, что |x - M[x]| > ξ

Определим оценку вероятности случайной величины х P{|x - M[x]| > ξ }

Известна дисперсия и задано ξ. Записываем выражение для дисперсии:

Скобку заменим величиной ξ, а область интегрирования та же:

Из этого выражения требуется определить вероятность:

- неравенство Чебышева

Закон о больших числах

Уточнение теоремы Чебышева

Пусть имеется последовательность независимых, неодинаковых случайных величин, тогда вероятность того, что модуль отклонения среднеарифметического значения от среднеарифметического значения мат. ожиданий.

Теорема Бернулли

Используем схему последовательных испытаний ν(А) – P(A)

ν(А) = n(A)/n

Сформулируем теорему Чебышева: пусть имеется последовательность независимых, неодинаковых случайных величин x₁,x₂,…,x_n, и случайные величины имеют одинаковое мат. ожидание и дисперсию, которая превышает некоторое число ξ, тогда вероятность такого события

Доказательство: используя неравенство Чебышева можем записать

Вероятность того, что модуль отклонения среднего значения от значения мат. ожидания будет меньше ξ.

Подставим M[x] в выражение и получим:

Выбираем достаточно большое n→∞