Фрактальный алгоритм сжатия информации

В радиотехнике и теории связи фракталы позволили разработать высокоэффек­тивные методы сжатия информации. В 1988 г. известный американский специалист в теории динамических систем и эргодической теории Барнсли (Barnsley) предло­жил некоторые идеи для сжатия и хранения графической информации. Он назвал свой метод фрактальным сжатием информации. Происхождение названия связано с тем, что геометрические образы, возникающие в этом методе, обычно имеют фрактальную природу в смысле Мандельброта.

Фрактальное сжатие основано на том, что изображение представляется в бо­лее компактной форме с помощью коэффициентов так называемой системы итерируемых функций (Iterated Function System — IFS). Система итерирую­щих функций — это совокупность сжимающих аффинных преобразований. Как известно, аффинные преобразования — геометрические преобразования плоскости или пространства, включающие в себя масштабирование, поворот и параллельный перенос, при котором фигуры сохраняют свои свойства. В изображениях преобразованию подвергаются точки в трехмерном пространст­ве (координата X, координата Y, яркость). По существу IFS представляет со­бой систему из некоторого фиксированного класса функций, отображающих одно многомерное множество на другое. Аффинное преобразование считается сжимающим, если коэффициент масштабирования меньше единицы.

Наиболее наглядна процесс сжатия информации Барнсли продемонстри­ровал в своей книге «Fractal Image Compression» (Фрактальное сжатие изо­бражения). Там введено понятие Фотокопировальной Машины (рис. 2.69), состоящей из экрана, на котором изображена исходная картинка, и системы линз, проецирующих изображение на другой экран. На линзы накладывается ряд специфических требований:

• линзы могут проецировать часть изображения произвольной формы в любое другое место нового изображения;

• области, в которые проецируются изображения, не пересекаются;

• линзы могут менять яркость и уменьшать контрастность;

• линзы могут зеркально отражать и поворачивать свой фрагмент изобра­жения;

• линзы должны уменьшать (масштабировать) свой фрагмент изображения.

Каждая линза проецирует часть исходного изображения. Расставляя линзы и меняя их характеристики, можно управлять получаемым изображением. Одна итерация работы Машины заключается в том, что по исходному изо­бражению с помощью проектирования строится новое, после чего новое бе­рется в качестве исходного. В процессе итераций получается изображение, которое перестанет изменяться. Оно будет зависеть только от расположения и характеристик линз, и не будет зависеть от исходной картинки. Это изобра­жение является аттрактором данной IFS. Соответствующая теория гарантиру­ет наличие ровно одного аттрактора для каждой IFS.

Поскольку отображение линз является сжимающим, каждая линза в явном виде задает самоподобные области в нашем изображении. Благодаря самопо­добию мы получаем сложную структуру изображения при любом увеличении. Таким образом, интуитивно понятно, что система итерируемых функций за­дает фрактал.

По существу алгоритм Барнсли выделяет в изображении пару областей, мень­шая из которых подобна большей, и сохраняет нескольких коэффициентов, ко­дирующих преобразование. Требуется, чтобы множество «меньших» областей по­крывало все изображение. При этом в файл, кодирующий изображение, записы­ваются не только коэффициенты, характеризующие найденные преобразования, но и местоположение и линейные размеры «больших» областей, которые вместе с коэффициентами будут описывать локальное самоподобие кодируемого изо­бражения. Восстанавливающий алгоритм, в этом случае, должен применять каж­дое преобразование не ко всему множеству точек, получившихся на предыдущем шаге алгоритма, а к некоторому их подмножеству, принадлежащему области, со­ответствующей применяемому преобразованию.

Рассмотрим фрактальный алгоритм, который преобразует изображение не­которым заданным способом. Например, этот способ предполагает уменьше­ние линейных размеров исходного изображения (например, рисунок «улыбающееся лицо») в два раза и тройное его копирование (рис. 2.70).

Пусть имеется три разных изображения: «улыбающееся лицо», буква А и салфетка Серпинского, показанных слева на рис. 2.71. Если процесс выбран­ного способа преобразования повторять к данным изображениям итеративно несколько раз, то возникающие из различных исходных изображений рисун­ки станут похожими друг на друга.

При достаточно большом количестве итераций эти рисунки перестанут различаться. Это конечное изображение обладает рядом интересных свойств, присущим только аттракторам фракталов:

• оно не зависит от начального изображения, поскольку при достаточно большом числе итераций исходное изображение уменьшится до аттрактора (точки);

• оно определяется исключительно процедурой преобразования;

• последующие преобразования преобразуют его в самое себя;

• оно может иметь сколь угодно мелкие детали.

Процедуры преобразования могут быть и другие. Единственное огра­ничение — это требование сходимости изображения в указанном выше смыс­ле. В противном случае, если две разные точки исходного изображения в ре­зультате последовательности преобразований не сойдутся в одну, то конечное изображение будет зависеть от исходного и не будет аттрактором.

На практике достаточно большое количество преобразований можно описать с помощью матричного уравнения, определяющего линейное преобразование координат x и у:

где a_i, b_i, c_i, d_i, g_i, и h_i — параметры аффинного преобразования.

На рис. 2.72 показаны ряд процедур преобразования и их аттракторов.

Последний случай (рис. 2.72, в — правый крайний рисунок) относится к так называемому «папоротнику Барнсли». Это внешне сложное изображение полу­чено за счет четырех аффинных преобразований, каждое из которых имеет шесть параметров (см. уравнение (2.281)). С аналитической точки зрения тот же папоротник Барнсли создается с помощью IFS четырьмя аффинными преобра­зованиями (в нашей терминологии «линзами»). Каждое преобразование кодиру­ется буквально считанными байтами, в то время как изображение, построенное с их помощью, может занимать и несколько мегабайт.

Если для штрихового изображения папоротника Барнсли перемножить число преобразований (4), число параметров (6) и число бит под хранение каждого из параметров (например 32), то получим 4 х 6 х 32 = 768 бит — столько бит необ­ходимо для хранения способа получения этого изображения. В то же время изо­бражение папоротника (1 бит/пиксел) имеет разрешение 256 х 256 пиксел. Для прямого хранения такого изображения необходимо 65536 бит, т. е. рассматри­ваемая схема позволяет «сжать» изображение примерно в 85 раз. Такое опреде­ление коэффициента сжатия в некоторой мере условно. Дело в том, что для хра­нения алгоритма преобразования требуется определенное, заранее известное, количество бит. Но этот алгоритм позволяет создать изображение любого раз­мера с достаточно мелкими деталями, для хранения которого требуется другое (возможно, большее) число друг на друга бит. Соответственно размеру изображения будет меняться и коэффициент сжатия. Возникает вопрос: можно ли для любой детали изображения подобрать деталь, которая после некоторых преобразований станет достаточно похожей на исходную?

Строгое математическое доказательство этого отсутствует, однако практика показыва­ет, что это возможно практически во всех случаях. Такие преобразования для полутоновых монохромных изображений можно формально описать следующим образом. Пусть яркость пикселов изображе­ния z задана некоторой функцией

где х, у — координаты пикселов.

Пусть z имеет 256 фиксированных уровней. Само аффинное преобразова­ние /-го блока полутонового изображения имеет вид:

где a_i, b_i, c_i, d_i, g_i, и h_i — параметры аффинного преоб­разования; s_i, r_i — коэффициенты преобразования контраста и яркости блока.

Теперь исходное изображение необходимо разбить на блоки (домены), для которых будут подбираться подобные блоки (ранговые области). Вычисление оп­тимальных коэффициентов преобразования контраста и яркости квадратов путем минимизации среднеквад­ратичной разности яркостей пикселов домена и кан­дидата в ранговую область может быть произведено по разным формулам, приведенным в специальной литературе.

Итак, понятие фрактала привело к развитию новойматематической модели, дающей единое описание форм, присущих многим природным явлениям. Оказывается, природа устроена так, что именно фрак­тальные модели хорошо описывают многие реальные объекты, структура кото­рых не отражается традиционными моделями. Этим объясняется современная популярность фрактального подхода к анализу различных объектов и процессов в физике, радиотехнике, системах передачи информации и др. В частности, сей­час большое внимание специалистов уделяется разработке широкополосных фрактальных антенн (рис. 2.73).

Совершенно очевидно, что новые геометрические и топологические пред­ставления фрактального анализа в скором времени станут такой же непремен­ной частью анализа сигналов и процессов в радиоэлектронике и теории переда­чи информации, какой стал Фурье-анализ. Отметим и тот факт, что между вейвлетным и фрактальным анализами много общего, поскольку в них исполь­зуется принцип самоподобия.

Литературный источник: [1] страницы 187-198.