Покровский / УМК ОРЭ ч.1(для студентов) / Радиоэлектроника(часть1) / Ответы(часть1)№03

Спектр прямоугольных импульсов - 2 -

Пример 2.1. Рассчитать амплитудный и фазовый спектры периодической последова­тельности прямоугольных видеоимпульсов, имеющих амплитуду Е, длительность τ_и, пери­од повторения Т и расположенных симметрично (сигнал — функция четная) относительно начала координат (рис. 2.9).

Одиночный идеальный прямоугольный импульс описывается уравнением:

(2.23)

т. е. он формируется как разность двух единичных функций σ(t) (функций включения, или функций Хевисайда — см. далее), сдвинутых во времени на τ_и.

Последовательность прямоугольных импульсов представляет собой известную сумму одиночных импульсов:

(2.24)

Отметим, что идеальные прямоугольные импульсы в природе практически не встреча­ются. В реальных импульсах время изменения сигнала от нулевых до амплитудных значе­ний (и обратно) всегда имеет конечную длительность.

Решение. Так как заданный сигнал является четной функцией времени и в течение одного периода действует только на интервале −τ_и/2, τ_и/2, то, согласно (2.17):

(2.25)

где q = T/τ_и — скважность (заметим, что величина, обратная скважности, — коэффициент заполнения; при q = 2 последовательность разнополярных импульсов называют меандром; от греч. — узор — геометрический орнамент).

В силу четности функции, описывающей анализируемый сигнал, в ряде Фурье, наряду с постоянной составляющей, будут присутствовать только косинусоидальные составляющие (2.18):

(2.26)

В этой формуле второй сомножитель имеет вид функции (sinx)/x. Из курса математики известно, что эта функция равна единице при х = 0, проходит через нуль в точках х = ±π, ±2π, ... и затухает с рос­том аргумента х (рис. 2.10). Окончательно ряд Фурье (2.16), аппроксимирующий заданный сигнал, запи­шется в следующем виде:

(2.27)

Из формулы (2.26) и рис. 2.10 следует, что амплитуды ряда гармоник имеют отрицательный знак. Это связано с тем, что начальная фаза данных гар­моник равна я. Поэтому выражение (2.26) принято представлять в несколько измененном виде:

(2.28)

При такой форме записи ряда Фурье амплитуды всех гармонических составляющих на спек­тральной диаграмме будут положительными (рис. 2.11, в).

Найденный амплитудный спектр заданного сигнала в значительной степени зависит от со-отнощения величины периода повторения Т и длительности импульса τ_и, т. е. от скважности q. Очень важно отметить, что при одной и той же длительности импульса τ_и, с увеличением перио­да их повторения Т основная частота ω₁ = 2π/Т уменьшается, и спектр становится плотнее. Та же картина наблюдается, если укорачивается длительность импульса τ_и, при неизменном периоде Т. Амплитуды всех гармонических составляющих при этом также уменьшаются.

Фазы гармоник определим из соот­ношения . Так как для данного случая коэффициент b_n = 0, то

(2.29)

где m = 0, 1, 2, ... .

Согласно (2.29), при вычислениях фаз имеем дело с неопределенностью. Для ее раскрытия обратимся к форму­ле (2.26), согласно которой амплиту­ды гармоник периодически меняют знак в соответствии с изменением знака функции sin(nω₁τ_и/2). Измене­ние знака эквивалентно сдвигу фазы этой функции на я. Следовательно, когда данная функция положительна, то фаза гармоники , а когда отрицательна — (рис. 2.11,6).

Литературный источник: [1] страницы 89,90.