Фрактальный анализ в радиоэлектронике - 2-

Фрактальный анализ в радиотехнике и теории связи

Изложенные ниже материалы, как и предыдущий раздел, пока не имеют строгого математического описания теории и находятся еще в стадии иссле­дований и поисков. Но их практическое значение велико и бесспорно. На первый взгляд геометрическое изложение теории фракталов имеет мало об­щего с радиотехническими сигналами. Но это не так.

Общие сведения

Понятие «фрактал» появилось в конце 70-х — с середины 80-х годов XX в. начало входить в обиход математиков, физиков, программистов и специали­стов по обработке сигналов и изображений. Слово фрактал образовано от латинских слов fractus (в переводе означает дробный или состоящий из фраг­ментов) и frangere — ломать и отражает изломанный, фрагментарный харак­тер объектов и явлений с дробными размерностями, служащими ко­личественной мерой негладкости фракталов.

В основе концепции фрактальности лежит некоторая идеализация реаль­ного мира — гипотеза самоподобия или скейлинга: вид фрактальной структу­ры объектов существенно не меняется при ее масштабных преобразованиях в определенном диапазоне значений масштаба. Понятие фрактальности было предложено Бенуа Б. Мандельбротом в 1975 г. для обозначения нерегуляр­ных, но самоподобных структур.

Что же такое самоподобие? В качестве рабочего определения можно взять следующее — система называется самоподобной, если из конечного набора ее копий можно собрать, как в детском конструкторе, такую же систему, которая больше или меньше начальной в определенное число раз. При упаковке шаров наиболее известные плотные конфигурации обладают решетчатой структурой; для упаковки дисков на плоскости — это гексагональная решетка, в трехмер­ном пространстве задача еще не решена — предполагается, что это будет ку­бическая решетка. Хотя принцип самоподобия известен уже давно (простейшие примеры — русские матрешки, китайские вложенные шары), самоподобные структуры недавно были, как бы заново открыты и буквально привели к взрыву теоретической и экспериментальной активности. Отметим, что принцип само­подобия в приближенном виде имеется и в природе: в фигурах снежинок, в кристаллах, в линиях берегов морей и рек, в распределении магнитных сило­вых линий и полей, в очертаниях облаков и деревьев, в турбулентном потоке жидкости и в иерархической организации живых систем.

Строгого и полного определения фракталов пока не существует. Опреде­ление фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Процессы, порождающие такие структуры, давно изучаются в математике и физике. Это процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова, когда результат одной итерации является начальным значением для следующей. Главное требование при этом — нели­нейная зависимость между результатом и начальным значением.

Формула процесса Мандельброта проста:

Если начать итерационный процесс указанного вида с произвольного значения x₀, то его результатом будет некоторая последовательность х₁, х₂, …, поведение которой по истечении достаточно большого интервала времени и будет представлять интерес. Будет ли последовательность сходиться к некото­рому предельному значению х, стремясь к состоянию равновесия (покоя)? Придет ли она к некоторому циклу значений, которые будут повторяться вновь и вновь? Или эта последовательность будет вести себя все время хао­тично, хотя и определена динамическим законом и конкретным начальным моментом, но, тем не менее, непредсказуема?

Мандельброт решил вместо действительных чисел с использовать ком­плексные числа вида р + jq (причем р может быть как положительным, так и отрицательным), и стал наблюдать процесс не на прямой, а на плоскости. Выбрав произвольное числоx₀, возведем его в квадрат и при­бавим константу с для того, чтобы получить x₁, затем повторим вычисления для того, чтобы получить x₂, x₃, и т. д. Начнем с простейшего из возможных значений константы с = 0. Тогда при каждой итерации вычисляется точный квадрат числа: . Для этой последовательности в зави­симости отx₀ имеются два направления развития:

• числа с каждой операцией уменьшаются с приближением к нулю; здесь можно констатировать, что нуль является аттрактором (под аттрактором в данном случае понимают — каждое устойчивое состояние множества точек; в радиотехнике — подпространство в фазовом пространстве, к которому прибли­жается траектория после затухания переходных процессов) для процесса ; все точки, находящиеся на расстоянии меньше 1 от этого аттрактора, движутся к нему, числа все время увеличиваются, стремясь к бесконечности; значит, беско­нечность также является аттрактором для этого процесса;

• все точки, лежащие на расстоянии больше 1 от нуля, движутся к беско-нечности;

• точки находятся и продолжают оставаться на расстоянии 1 от нуля; их последовательности лежат на границе двух областей притяжения, в данном случае на окружности единичного радиуса с центром в нуле.

Нетрудно заметить, что плоскость делится на две зоны влияния аттракто­ров, а границей между ними является окружность. Любая начальная точка х₀ в течение процесса либо приходит к тому или другому центру, либо лежит на границе и не может принять определенное решение. С изменением парамет­ра изменяются и области, и границы, принадлежащие аттракторам. Может случиться, что граница превратится в пыль, и такой распад представляет со­бой один из наиболее важных сценариев.

Исследования, проведенные Мандельбротом, показали, что сюрпризы начнутся, если выбрать ненулевое значение параметра с. Здесь для последова­тельности также имеются три из перечисленных выше на-прав­ления развития. В центре внимания оказалась природа границ между раз­личными областями. Подобные процессы обнаруживаются в любой точной нау­ке. В радиотехнике и теории передачи информации в качестве фрактальных структур можно рассматривать реализации случайных процессов, телевизионные изображения, сигналы и изображения на выходе РЛС и радиометров, рассеяние ра­диоволн подстилающими покровами, фазовые портреты автогенераторов и других динамических систем. Прикладными направлениями исследований в последнее время стали: фрактальная обработка изображений и сжатие информации; обнаруже­ние по фрактальным алгоритмам цели на различных изображениях с предельно ма­лыми отношениями сигнал/шум (называется цифра менее −30 дБ); разработка фрак­тальных антенн; создание новых моделей рассеяния радиоволн, имеющих конечное число степеней свободы и реализуемые на основе идей детерминированного хаоса.