Земные покровы как фрактальные поверхности

В связи с интенсивным развитием радиолокации, радионавигации и гологра­фии актуальной стала проблема исследования рассеяния электромагнитных волн на статистически неровной поверхности. К таким поверхностям относятся земные покровы. Подобия в структуре поверхностей, масштабы которых в корне различ­ны, наводят на мысль о существовании общей природной закономерности, лежа­щей в их основе. Ранее предполагалось, что большинство реальных поверхностей могут быть условно отнесены к классу стационарных случайных процессов. Од­нако их исследования фрактальными методами показали, что это не так.

При исследованиях протяженных поверхностей широко используются их пространственные спектры мощности. Известно, что пространственная частота/ связана с пространственной длиной волны λ равенством f = 1/λ.. Для физических объектов с конечной протяженностью l₀ минимальная пространственная частота f₀ = 1/l₀. При исследовании различных образцов выяснилось, что в определенных масштабах среднеквадратическая высота неровностей является функцией длины образца. Применительно к рельефу, это означает, что наклоны, кривизна и рас­пределение экстремумов не являются, как считалось ранее, существенными свойствами поверхностей.

В спектральной форме эти эффекты связаны через некую константу L₀ с высшей пространственной длиной волны отсечки λ₀ и выражаются как:

где σ² — дисперсия высоты неровностей рельефа; ω₀ = 2πf₀ — угловая (круго­вая) пространственная частота.

Многочисленными экспериментами было показано, что пространственный спектр мощности поверхности S(ω) обратно пропорционален квадрату угловой пространственной частоты ω. Это означает, что образец конечной длины рас­сматриваемой поверхности никогда не будет настолько длинным, чтобы в со­вершенстве представлять ее свойства. Установлено, что

Параметр L₀ в уравнениях (2.274) и (2.275) был назван топотезой поверхно­сти. Значения L₀ однозначно определяют статистические и геометрические свойства изотропной поверхности для рассмотренного диапазона пространст­венных волн. Топотеза измеряется в единицах длины. Статистически изотроп­ные поверхности, на которых не выделен какой-либо масштаб и уровень кото­рых определен, но недифференцируем, действительно могут иметь пространст­венный спектр фрактального вида:

где α — спектральный параметр (1 < α < 3), связанный с показателем Херста Н соотношением

В свою очередь, показатель Херста для трехмерного пространства определя­ется через фрактальную размерность поверхности D:

Тогда из (2.276) следует, что

В общем случае топотезу следует определять в виде длины

пропорциональной горизонтальному расстоянию L, на котором средне-квадратические наклоны неровностей близки к единичным.

Фактически до сих пор еще не созданы приборы, дающие на выходе сигнал, пропорциональный фрактальной размерности, хотя электрооптические методы позволяют определить подход к решению данной проблемы. В настоящее время в численных и физических экспериментах фрактальные размерности D находят дискретизацией и оцифровкой исследуемых аналоговых сигналов с последую­щей обработкой данных на компьютере. В цифровых алгоритмах для вычисле­ния размерности D используется 10³...10⁶ точек, что требует огромных вычисли­тельных затрат, хотя существуют и более рациональные программы, содержа­щие примерно 500 отсчетов. Прямые алгоритмы при N₀ точках содержат N₀² операций, иногда удается снизить их число до произведения N₀·lnN₀.