Классификация фракталов

Геометрические фракталы. Основным свойством фракталов является неце­лое (дробное) значение их размерности. Чтобы понять это определение, обра­тимся к основам теории размерности.

Понятие дробной размерности опирается на анализ понятия целой евклидо­вой Е или топологической размерности D₀. Под топологической размерностью D₀ множества в линейном пространстве понимают число линейно независимых в нем координат. В частности, точка в евклидовом пространстве Е имеет топо­логическую размерность D₀ = 0. Гладкие кривые — прямые, окружности, раз­личные линии и т. п. — имеют размерность D₀ = 1, т. е. они одномерны. По­верхности имеют размерность D₀ = 2 (двумерны), объемные тела — размер­ность D₀ = 3 (трехмерны), гипертела — более высокие значения D₀. А какова размерность пыли на забытой книге, плоскости домашнего сита для просеива­ния муки, не плотно заштрихованного листа бумаги или клубка (шара) степного травянистого растения перекати-поле? Пытаясь ответить на эти вопросы, можно прийти к системам, чья размерность будет измеряться нецелыми (дробными) числами - к фракталам.

Понятия фрактальных меры и размерности множеств, характеризующих их в целом, базируются на определениях, введенных Хаусдорфом. Размерность по Хаусдорфу определим следующим образом. Пусть на плоскости имеется некая сильно изломанная линия, имеющая «причудливую», фрактальную природу. Бу­дем измерять длину этой линии отрезками с характерным размером δ (еще гово­рят — пробными отрезками, их длину δ называют коэффициентами подобия). Тогда ее суммарная длина L_δ стремится не к конечному пределу, как это должно быть для «обычной» линии, а к бесконечности по степенному закону:

где А — некая константа размерности L^D (L — размерность длины), a D — по­стоянная, называемая фрактальной размерностью или размерностью Хаусдорфа. Формулу (2.268) можно записать асимптотически при δ → 0:

где N - число отрезков, необходимых для покрытия фрактальной линии.

Если l — длина каждого такого отрезка (т. е. расстояние между двумя точка­ми по прямой) и N(δ) определяется законом подобия при δ → 0, то

Из (2.270) вытекает, что фрактальная размерность D находится как:

Первое определение можно теперь не­сколько расширить: фракталы — это множества, размерность Хаусдорфа D которых строго больше их топологиче­ской размерности. Данному определе­нию можно придать определенный физи­ческий смысл: оно характеризует услож­нение множеств. Если это кривая, то ее можно усложнять путем бесконечного числа изгибаний до такой степени (например, покрывать штриховкой лист бу­маги, или оценить кривые Пеано — кривые, заполняющие плоскость), что ее размерность достигнет двух, если она плотно покроет конечную площадь.

Для связи фрактальной и топологической размерностей используют показа­тель Херста Н (0 < Н <1)

Позднее выяснилось, что есть «толстые» фракталы, у которых размерности все-таки целочисленные. Поэтому более универсальным свойством фракталов все же является их самоподобие — наличие некоторой масштабной симметрии. Например, это кривые, вид которых не меняется при рассмотрении в разные лу­пы определенной кратности.

Геометрические фракталы самые наглядные. Рассмотрим один из первых простейших фрактальных объектов — кривую Э. фон Кох. Построение кривой (рис. 2.66) начинается с отрезка единичной длины δ = 1, который является инициатором (затравкой) и называется предфракталом 0-го порядка (n = 0). Далее инициатор заменяется на образующий элемент — ломаную линию (кри­вую) из четырех прямолинейных звеньев, каждое из которых имеет длину δ = 1/3. Так образуется предфрактал 1-го порядка (n = 1). Его длина составля­ет 4/3. Для построения предфрактала следующего порядка каждое звено за­меняется на уменьшенный образующий элемент. В результате получаем ли­нию, состоящую из 4x4 =16 звеньев, каждое из которых имеет длину (1/3)/3 = 1/9; общая длина равна 16/9. Длина предфрактала n-го порядка равна (4/3)ⁿ, а протяженность каждого звена δ = 3⁻ⁿ при их числе N(δ) = 4ⁿ = δ ^−D

Очевидно, что предел длины кривой при n → ∞ равен бесконечности. В итоге получили кривую бесконечной длины, заполняющую ограниченное множество на плоскости. Если построение кривой начать не с отрезка, а с треугольника, и применить перечисленные действия к каждой его стороне, то получим замкну­тую фигуру — фрактал «снежинку» Кох.

Сопоставим топологическую и хаусдорфову размерности триадной кривой Кох. Топологическая размерность этой кривой D₀ = 1, а хаусдорфова, согласно формуле (2.271) — D = ln4/ln3 = 1,26.

Построение двух очень интересных фрактальных фигур — треугольной сал­фетки и ковра Серпинского (представлены четвертые поколения предфракталов) по­казано на рис. 2.67, а и б соответственно.

В первом случае инициатором служит треугольник со всеми внутренними точками, а во втором — квадрат. На каждом следую­щем этапе треугольник в салфетке Серпинского заменяется тремя треугольниками, уменьшенными с коэффициентами 1/3. Для ковра Серпинского образующий эле­мент состоит из N = 8 квадратов с коэффициентом сжатия 1/3. Их бесконечное мно­жество поколений порождает фрактальную кривую. В этом случае черные участки исчезают, а полный периметр отверстий в ковре Серпинского становится бесконеч­ным. Нетрудно заметить, что топологическая размерность салфетки и ковра Сер­пинского одинакова D₀ = 1, а хаусдорфова — соответственно составляет D = ln3/ln2 = 1,58 и D= ln8/ln3 = 1,89.

Еще один тип фракталов — «канторовское множество», или «канторовская пыль», названное в честь Георга Кантора, открывшего его в 1883 г. Данное построе­ние позволяет сформировать фрактальное множество с топологической размерно­стью 0 < D₀ < 1. На рис. 2.68 показана процедура образования триадного канторовского множества (первых пяти поколений отрезков - п = 5), называемого канторовской пылью. Основой служит единичный отрезок [0,1], разбиваемый на, три оди­наковые части. Образующий удаляет среднюю треть. Затем образующий элемент применяется к каждому из двух оставшихся отрезков и т. д.

Сумма длин L удаленных отрезков точно равна единице:

Топологическая размерность канторовского множества D₀ = 0, а Хаус-дорфова — D = ln2/ln3 = 0,63. Отметим, что упомянутый выше ковер Серпинского явля­ется аналогом канторовского множества на квадрате.

Алгебраические фракталы. Получают их с помощью нелинейных процес­сов в n-мерных пространствах. Наиболее изучены двухмерные процессы. Ин­терпретируя нелинейный итерационный процесс как дискретную динамическую систему, можно пользоваться терминологией теории этих сис­тем: фазовый портрет, устано­вившийся процесс, аттрактор и т.д.

Известно, что нелинейные динамические системы обладают несколькими устойчивыми состояниями. То состояние, в котором оказалась дина­мическая система после ряда итераций, зависит от ее начального состояния. Поэто­му каждое устойчивое состояние обладает некоторой областью начальных состоя­ний, из которых система обязательно попадет в конечные состояния. Таким обра­зом, фазовое пространство системы разбивается на области притяжения аттракто­ров. Если фазовым является двухмерное пространство, то, окрашивая области при­тяжения различными цветами, можно получить цветовой фазовый портрет этой системы. Меняя алгоритм выбора цвета, можно получить сложные фрактальные картины с причудливыми многоцветными узорами.

Стохастические фракталы. Они получаются тогда, когда в итерационном процессе случайным образом меняют какие-либо его параметры. При этом воз­никают объекты, похожие на природные — несимметричные деревья, изрезан­ные береговые линии и т. д.