Спектральное представление радиосигналов-16-

СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Очень часто математическое описание даже несложных по структуре де­терминированных сигналов является весьма трудной задачей. Поэтому в ра­диоэлектронике и технике связи используется оригинальный прием, при ко­тором реальные, сложные по структуре и форме сигналы заменяют (представляют, аппроксимируют, декомпозируют) набором (взвешенной сум­мой) идеализированных математических моделей, описываемых элементар­ными функциями. Это дает важный инструмент для анализа прохождения сигналов через радиотехнические цепи. Подобным образом можно упростить обратную задачу — синтез сложных сигналов из совокупности простых.

Фундаментальная идея восходит к временам более чем 200-летней давно­сти и принадлежит знаменитому французскому физику и математику Жану Б. Фурье — Jean В. Fourier (1768—1830). Прежде чем перейти к описанию этой концепции, рассмотрим системы элементарных ортогональных функ­ций, каждая из которых получается из одной функции-прототипа. Эта функ­ция-прототип выполняет роль «строительного блока», а искомая ап­проксимация получается комбинированием одинаковых по структуре блоков. При этом если «хорошая» аппроксимация получается при использовании не­большого числа блоков, то тем самым достигается значительное сжатие ин­формации.

Наиболее удобным способом описания исследуемого сигнала является его аналитическое представление с помощью системы некоторых взаимосвязан­ных элементарных функций времени, которую называют базисной:

Здесь i = 1, 2, 3... .

Представление сигнала u(t) элементарными моделями существенно упро-щается, если выбрана система базисных функций v_i(t), обладающих свойст­вом ортонормированности (ортогональности и нормированное). В матема­тике такую систему базисных функций называют ортонормированным базисом.

Обратимся к определениям, характеризующим основные свойства ортого­нальных и ортонормированных систем функций. Две функции u(t) и v(t) ор­тогональны на интервале t₁, t₂, если их скалярное произведение (интеграл от произведения)

при том условии, что ни одна из этих функций не равна тождественно нулю.

Свойство ортогональности функций (в данном случае сигналов) обяза­тельно связано с интервалом их определения (рис. 2.4). Например, гармо­нические сигналы иортогональны на лю­бом интервале времени, длительность которого равна целому числу полупе­риодов T₀ (рис. 2.4, а). Следовательно, в первом периоде сигналы u₁(t) и u₂(t) ортогональны на интервале 0...T₀/2; однако на интервале 0...3T₀/4 они уже неортогональны. На рис. 2.4, б сигналы ортогональны вследствие разновре­менности их появления.

Из математики известно, если для любой пары функций из ортогональной системы (2.8) выполняется условие

то данная система функций — ортонормирована (нормирована к 1).

Итак, Ж. Фурье удалось доказать оригинальную теорему, которая в букваль­ном смысле ошеломила его скептически настроенных оппонентов, включая видных математиков и физиков того времени: П. Лапласа (P. Laplace), Ж. Био (J. Biot) и С. Пуассона (S. Poisson). Он показал, что любое изме­нение во времени некоторой функции можно представить (аппроксимировать) в виде конечной или бесконечной суммы ряда гармонических колебаний с разными амплитудами, частотами и начальными фазами. Этой функцией может быть, в частности, ток или напряжение в некото­рой электрической цепи. Столь простое представление сложного изменения во времени какой-либо физической величины в виде суммы ряда простейших гармонических колебаний могло показаться на первый взгляд лишь матема­тическим трюком. Но это не трюк. Несложный пример доказательства рассуж­дений Фурье показан на рис. 2.5. Периодическая, достаточно сложная по фор­ме кривая (рис. 2.5, а) — это сумма двух синусоид разных, кратных частот: пер­вой (рис. 2.5, б) и удвоенной (рис. 2.5, в).

Пусть на заданном интервале времени t₁, t₂ действует произвольный не­прерывный сигнал u(t) и для его аппроксимации используется система идеа­лизированных функций (2.8), являющаяся ортонормированной. Тогда данный сигнал может быть представлен обобщенным рядом Фурье

где с_i — некоторые постоянные коэффициенты.

Для определения коэффициентов данного ряда выберем одну из базисных функций v_k(t) с произ­вольным номером k. Умножим обе части выраже­ния (2.11) на эту функцию и проинтегрируем ре­зультат по времени

Вследствие ортонормированности базиса вы­бранных функций в правой части этого равенства все члены суммы при i ≠ k обратятся в нуль. Ненулевым останется только единственный член суммы с номером i = k, поэтому

Совокупность коэффициентов с_k полностью определяет анализируемый сигнал u(t) и называется его спектром.

Достаточно распространенное использование в теории сигналов обобщенного ряда Фурье связано с его очень важным свойством: при выбранной ортонормиро-ванной системе функций v_k(t) и фиксированном числе слагаемых ряда (2.11), он обеспечивает наилучшую аппроксимацию заданного сигнала u(t). Это свойство ря­дов Фурье известно и доказано в математике.

В радиотехнике и теории связи наибольшее применение получили ортонормированные базисы тригонометрических (синусоидальных и косинусоидальных) функ­ций. Это обусловлено следующим: гармонические колебания наиболее просто гене­рировать; гармоническое колебание теоретически полностью сохраняет форму при прохождении через любую линейную цепь с постоянными параметрами, а изменя­ются при этом лишь его амплитуда и начальная фаза. Операцию представления не­прерывных детерминированных сигналов в виде совокупности постоянной состав­ляющей и суммы гармонических колебаний с кратными частотами принято назы­вать спектральным разложением (представлением) или гармоническим анализом. Далее в учебнике спектральный анализ ограничен рамками гармонического анализа, как находящий на практике исключительное применение.

На рис. 2.6 в качестве наглядного примера показано спектральное представление некоторого достаточно сложного по форме сигнала.

Рассмотрим спектральное разложение простейшего вида детерминиро-ванных сигналов — периодических. Периодическим называют любой сигнал (функцию), повторяющийся через регулярные интервалы времени (рис. 2.7) и удовлетворяющий условию:

где Т — период повторения или следования импульсов; n = 0, 1, 2, ....

В более общем виде периодическая по­следовательность импульсов (в радиотех­нике подобные импульсы любой формы — и экспоненциальный, и треугольный, и пр. называют видеоимпульсами; происхожде­ние этого термина связано с тем, что впер­вые такие сигналы были применены в те­левизионной технике), описывается как:

Здесь u₀(t) — форма одиночного импульса, характеризующаяся следующими па­раметрами: амплитудой (высотой) h = Е; длительностью (шириной) τ_и; периодом следования Т = 1/F(F—частота следования); положе-нием импульсов во времени относительно тактовых точек. Отметим, что, если видеоимпульсы имеют не пря­моугольную форму, появляется ряд дополнительных параметров.

При спектральном представлении периодических сигналов наиболее удобен ортонормированный базис гармонических функций:

где — частота следования импульсов.

Вычисляя интегралы по (2.10), легко убедиться в ортонормированности за­данных функций на интервале −T/2, T/2. Любая из этих функций удовлетворяет условию периодичности (2.14), поскольку частоты их кратны.

Представим периодический сигнал наиболее распространенной тригономет­рической формой ряда Фурье:

В этом соотношении имеются следующие компоненты сигнала:

• постоянная составляющая:

• амплитуды косинусоидальных составляющих:

• амплитуды синусоидальных составляющих:

Спектральную составляющую с частотой ω₁ в радиотехнике называют первой {основной) гармоникой, а составляющие с частотами пω₁ (п > 1) — высшими гармониками периодического сигнала.

Из курса математики известно, что если сигнал представляет собой четную функцию времени u(t) = u(−t), то в тригонометрической записи ряда Фурье (2.16) отсутствуют синусоидальные коэффициенты b_n, так как в соответствии с формулой (2.19) они обращаются в нуль. Для сигнала u(t), определяемого не­четной функцией времени, наоборот, нулю равны косинусоидальные коэффици­енты а„, и ряд содержит составляющие b_n.

С математической точки зрения часто удобнее выражение (2.16), описываю­щее заданный сигнал, представить в другой, эквивалентной форме ряда Фурье:

где , — амплитуда, — начальная фаза n-й гармоники сигнала. Иногда в (2.20) перед φ_n ставят знак «+»; тогда началь­ная фаза имеет знак «−».

В радиоэлектронике и теории сигналов также широко используется ком­плексный ряд Фурье

где

− комплексная амплитуда n-й гармоники.

Из соотношения (2.21) нетрудно выяснить, что спектральное представление периодического сигнала комплексной формой ряда Фурье содержит как поло­жительные, так и отрицательные частоты. Однако отрицательные частоты в природе не существуют, и это не физическое понятие, а математическая абст­ракция. Они появляются как следствие формального представления гармониче­ских колебаний комплексной формой. Легко показать, что при переходе от ком­плексной формы записи (2.21) к тригонометрической (2.20) понятие «отрица­тельная частота» теряет смысл.

Наиболее наглядно о спектре радиотехнического сигнала можно судить по его графическому изображению — спектральной диаграмме. В теории сигналов различают амплитудно-частотные и фазо-частотные спектры. Совокупность амплитуд гармонических составляющих А_n, носит название спектра амплитуд, φ_n — спектра фаз, С_n — комплексного спектра (рис. 2.8).

На спектральных диаграммах по оси абсцисс откладывают текущую час­тоту, а по оси ординат — либо вещественную, либо комплексную амплиту­ду, или фазу соответствующих гармонических составляющих анализируемо­го сигнала. Спектр периодического сигнала принято называть линейчатым или дискретным, так как он состоит из отдельных линий, высота которых равна амплитуде А_n соответствующих гармоник. Из всех видов спектров наиболее ин­формативен амплитудный, поскольку с его помощью можно оценить количест­венное содержание тех или иных гармоник в частотном составе анализируемого сигнала. В теории сигналов доказано, что амплитудный спектр является четной функцией частоты, а фазовый — нечетной.

При практических расчетах спектров периодических сигналов вычисление бесконечной суммы ряда Фурье вызывает определенные трудности, поэтому ограничиваются суммированием конечного числа слагаемых. Точность ап­проксимации исходного сигнала в этом случае зависит от количества сумми­руемых спектральных составляющих.

Проиллюстрируем это на примере аппроксимации суммой гармоник пе­риодической последовательности прямоугольных импульсов, у которых дли­тельность τ_и = T/2 (рис. 2.12).

В этом случае, согласно тригонометрической форме ряда Фурье (2.27), ап­проксимирующая функция запишется в виде:

На рис. 2.12 графически показано последовательное суммирование друг с другом 0-, 1-, 3- и 5-й гармоник. Из представленных графиков нетрудно заметить, как с увеличением количества суммируемых гармоник напряжения (или тока) результирующая аппроксимирующая функция все точнее прибли­жается к форме исходного сигнала u(t) везде, кроме точек ее разрыва, в кото­рых образуется выброс. При n → ∞ величина данного выброса ΔЕ составляет 9 % от амплитуды аппроксимируемого сигнала Е. Причем с увеличением числа суммируемых гармоник п амплитуда выброса в точках разрыва не уменьшается, а его длительность становится бесконечно узкой.

Этот дефект сходимости аппроксимирующего ряда Фурье известен в мате­матике и получил название явления Гиббса (Дж. Гиббс — американский фи­зик, который впервые дал ему пояснение). По существу явление Гиббса обу­словливает неустранимую погрешность аппроксимации. Для многих анали­тических исследований наличие явления Гиббса вызывает определенные про­блемы. Так, например, в звуковоспроизводящих системах (в частности в мик­рофонах) подобное явление носит название «звона». При этом каждый рез­кий согласный или любой другой внезапный звук сопровождается коротким свистящим, неприятным для слуха, звуком.

Необходимо отметить, что в проведенной выше практической аппрокси­мации заданного периодического сигнала тригонометрическим рядом Фурье (2.16) суммирование первой и высших гармоник осуществляется только по нечетным коэффициентам я, так как при четных их значениях и длительно­сти импульса τ_и = T/2 = π/ω₁ величина обращается внуль (см. представление рядами Фурье четных функций).

Наряду со спектральным представлением (гармоническим анализом) сигна­лов широко используется гармонический синтез — получение заданных колеба­ний сложной формы путем суммирования ряда гармонических составляющих их спектра. По существу, выше и был проведен синтез периодической последовательности прямоугольных импульсов из нескольких гармоник. На практике такие операции легко осуществляются на компьютере.

СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

В теорий спектрального представления непериодических (импульсных) сигналов используют искусственный прием, формально заменяя такие сигна­лы периодическими с бесконечно большим интервалом (периодом) следова­ния T → ∞.

Положим, что некоторая заданная функцияu(t) аналитически описывает одиночный импульсный (иногда называе­мый финитным) сигнал конечной дли­тельности (рис. 2.13, а). Мысленно до­полнив его такими же импульс-ными сиг­налами, следующими с некоторым интер­валом Т (рис. 2.13 б), получим перио­ди-ческую последовательность анало­гичных им-пульсов u_n(t) = u(t + пТ).

Для того чтобы вне искусственно вве­денного интервала 0, Т исходный сигнал был равен нулю, необходимо увеличить период повторения импульсов. В пределе, при увеличении периода и T → ∞ все им­пульсы уйдут вправо и влево в бесконечность и периодическая последовательность u_n(t) вновь станет одиночным импульсом u(t). В этом случае выражения (2.21) и (2.22) сохраняют смысл. Под­ставив формулу (2.22) в (2.21), запишем периодическую функцию:

Так как период следования , то

Легко заметить, что при увеличении периода следования импульсов T линей­чатый спектр будет все более плотным. В предельном случае, когда период T → ∞, равные расстояния между спектральными линиями уменьшаться на­столько, что спектр станет сплошным, а амплитуды отдельных спектральных составляющих окажутся бесконечно малыми. При этом частота следования им­пульсов и превращается вdω, дискретная переменная пω₁ — в мгновенную (текущую) частоту ω, а сумма трансформируется в интеграл. Пе­риодическая последовательность импульсов u_n(t) станет одиночным импульсом u(t), и выражение (2.31) запишется в виде:

Здесь интеграл в скобках является комплексной функцией частоты. Обозначив его

получим

Соотношения (2.33) и (2.34) носят фундаментальный характер в теории сиг­налов и называются соответственно прямым и обратным преобразованиями Фурье. Они связывают между собой вещественную функцию времени (сигнал) u(t) и комплексную функцию частоты S(ω).

Таким образом, интеграл Фурье (2.33) содержит непрерывную (сплошную) последовательность спектральных составляющих сигнала с бесконечно малыми амплитудами. Функцию S(ω) называют спектральной плотностью. Она харак­теризует интенсивность сплошного распределения амплитуд гармоник неперио­дического сигнала вдоль оси частот ω. В этом основное отличие спектральной плотности непериодического сигнала от дискретного спектра периодического сигнала, в котором каждая гармоническая составляющая имеет вполне опреде­ленное значение частоты и отстоит от соседней на величину ω₁ = 2π/Т.

Необходимо отметить, что дискретный спектр периодического и спек­тральная плотность непериодического сигналов имеют разные размерности. Дискретный спектр имеет размерность амплитуды (В или А). Спектральная плотность имеет размерность В/Гц или А/Гц.

Вследствие того, что непериодический сигнал u(t) и его спектральная плотность S(ω) взаимно однозначно связаны парой преобразований Фурье, последние позволяют аналитически отыскать спектральную плотность по за-данной форме сигнала, и наоборот, его форму по спектральной плотности.

Пример 2.2. Задан прямоугольный импульс напряжения, имеющий амплитуду E и длительность τ_и (рис. 2.14, а). Определить его спектральную плотность.

Решение. Так как анализируемый сигнал расположен на временном интервале −τ_и /2, τ_и /2, то, в соответствии с (2.33), получим

На рис. 2.14, б показан модуль спектральной плотности прямоугольного импульса напряжения.

Сравнив выражения для спектральной плотности одиночного прямоуголь­ного импульса (2.35) и спектра периодической последовательности таких же импульсов (2.26), нетрудно заметить, что модуль спектральной плотности и огибающая (огибающая — воображаемая линия, которая действительно «огибает» сигнал и имеет смысл максимальных значений его мгновенной ам­плитуды), гармоник дискретного спектра совпадают по форме и отличаются лишь масштабом по оси амплитуд.

В табл. 2.2 в качестве иллюстраций приведены графики некоторых им­пульсов и их амплитудных спектров в области положительных частот. Из приведенных примеров видно, что реальные импульсы ограниченной дли­тельности теоретически имеют бесконечный спектр.

Известный в математике принцип неопределенности В. Гейзенберга (применительно к одномерным сигналам) гласит: чем сильнее сигнал u(t) ло­кализован во времени (т. е. чем компактнее «колокол», накрывающий его), тем шире его спектр S(ω) «размазан» в пространстве частот ω. И наоборот — чем меньше ширина спектра S(ω), тем большую часть оси времени занимает сигнал u(t). На практике шириной спектра считают эффективную область частот F_э, в пределах которой сконцентрировано 90...95 % энергии сигнала. Для колокольного и экспоненциального импульсов, имеющих теоретически бесконечную длительность, для удобства расчетов также вводят понятие эф­фективной длительности Т_э, подразумевая под этим интервал времени, в пре­делах которого сосредоточена основная доля энергии сигнала.

Основные свойства преобразований Фурье

Итак, между сигналом u(t) и его спектральной плотностью S(ω) существует однозначное соответствие, установленное соотношениями (2.33) и (2.34). Для практических целей важна связь между различными преобразованиями сиг­нала и соответствующими этим преобразованиям изменениями его спек­тральной плотности. Рассмотрим несколько основных таких радиотех­нических преобразований.

Сдвиг сигнала во времени (теорема запаздывания). Пусть сигнал u₁(t) со спектральной плотностью S₁(ω) задержан на некоторое время t_c. В этом случае u₂(t) = u₁(t — t_с), и спектральная плотность задержанного сигнала в соответствии с прямым преобразованием Фурье (2.33) имеет вид:

Введя новую переменную интегрирования τ = t — t_c, получим

Таким образом, сдвиг сигнала во времени на некоторый интервал t_c при­водит лишь к изменению аргумента спектральной плотности на величину ωt_c, а ее модуль остается неизменным. На практике сдвиг сигнала во времени осуществляется при аудио- и видеозаписи на различные носители. Сколь долго (теоретически) не хранилась бы такая запись, спектр (и форма) сигнала не претерпит изменений.

Сложение, усиление и ослабление сигналов (теорема линейности). Сложение, усиление и ослабление сигналов относятся к линейным операциям, поэтому к ним применимо свойство линейности. Если имеется совокупность детер­минированных сигналов u₁(t), u₂(t), …, u_N(t), обладающих спектральными плотностями S₁(ω), S₂(ω), …, S_N(ω), то суммарному (разностному) значению сигналов u_c(t) = u₁(t) + u₂(t) + … + u_N(t) соответствует сумма (разность) их спектральных плотностей S_c(ω) = S₁(ω) + S₂(ω) + … + S_N(ω).

Данная теорема имеет элементарное доказательство: достаточно в прямое преобразование Фурье (2.33) подставить сумму исходных сигналов. В общем виде теорему линейности можно записать следующим образом:

где а_i — произвольные числовые коэффициенты; i = 0, 1, ..., N.

Смещение спектра сигнала (теорема смещения). Смысл данной теоремы за­ключается в следующем: если S₁(ω) — спектральная плотность сигнала u₁(t), то спектральная плотность S₂(ω + Ω), полученная путем сдвига исходного спектра по оси частот на величину Ω, соответствует сигналу . Действительно, согласно (2.33):

Подобное преобразование сигнала применяют в системах связи либо при пере­носе спектра сигнала из одной полосы частот в другую, либо при модуляции. Соот­ношение (2.38) показывает, что в результате таких преобразований спектр сигнала смещается на величину £2, равную частоте сдвига.

Изменение масштаба времени. Предположим, что в исходном сигнале u₁(t) из­менен масштаб времени таким образом, что аргумент t умножен на некоторый по­стоянный коэффициент b и . Если b > 1, то происходит «сжатие» исход­ного сигнала; если же 0 < b < 1 — исходный сигнал «растягивается» во времени. Докажем это положение.

Спектральная плотность измененного сигнала

Введя новую переменную τ = bt, получим

откуда

Таким образом, увеличение длительности импульсного сигнала любой формы в раз b сопровождается сжатием его спектра во столько же раз, и наоборот, уменьше­ние длительности приводит к расширению спектра.