Единичная функция и ее спектр

Рассмотрим еще один элемен­тарный электрический сигнал (рис. 2.18, а), широко используе­мый для исследования воздействия радиоэлектронных цепей и уст­ройств на различные входные колебания. Предельное, упрощен­ное аналитическое выражение данного сигнала принято в радиотехнике и теории цепей записывать сле­дующим образом:

Функцию σ(t) называют единичной функцией, функцией включения или функцией Хевисайда (Оли­вер Хевисайд — английский физик; 1850—1925).

Спектральная плотность единичной функции. Сравнив (2.52) и (2.54), не­трудно заметить, что функция включения получается путем предельного пере­хода из экспоненциального импульса при α → 0:

Значит, спектральную характеристику функции включения можно опреде­лить, выполнив предельный переход при α → 0 в выражении спектральной плотности экспоненциального импульса:

При α = 0 первое слагаемое в правой части этой формулы равно нулю на всех частотах, кроме ω = 0, где оно обращается в бесконечность, а площадь под кри­вой функции равна постоянной величине

независимо от значения α. Поэтому пределом первого слагаемого можно счи­тать функцию πδ(ω). Пределом второго слагаемого при α → 0 является величи­на 1/(jω). Окончательно получим (рис. 2.18, б):

Спектральная плотность постоянного напряжения (тока). Спектральную характеристику постоянного напряжения единичной амплитуды (рис. 2.19, а) можно легко определить, приравняв в формуле (2.51) для спектральной плотно­сти косинусоидального сигнала частоту со₀ к нулю. В результате получим:

Физический смысл данного выражения прост и очевиден — постоянный во времени сигнал может иметь единственную спектральную составляющую

(в виде дельта-функции, умноженной на коэффициент 2π), расположенную на нуле­вой частоте (рис. 2.19, б).

Литературный источник: [1] страницы 84-103.