Вейвлет-анализ в радиоэлектронике - 17-

Вейвлет-анализ в радиотехнике и теории связи

Настоящий раздел учебника не претендует на строго математическую точность описания теоретических положений и полноту постановок приклад­ных задач. Его целью является привлечение внимания студентов и специали­стов из различных областей радиотехники и теории связи к вейвлетам — но­вому перспективному методу и инструменту исследований. В последние годы во многих университетах мира ведется или начато преподавание теории вейвлет-анализа.

Общие сведения

Спектральные методы анализа Фурье, основанные на использовании бази­сов тригонометрических функций, достаточно полно позволяют исследовать сигналы, близкие по характеру некоторым периодическим колебаниям. На­пример, при вычислении преобразования Фурье радиоимпульса, можно зара­нее утверждать, что модуль его спектральной плотности будет иметь резко выраженный максимум на частоте высокочастотного заполнения, а спектр достаточно широкой пачки периодических видеоимпульсов — иметь структу­ру, близкую к линейчатой.

В последние годы было установлено, что в ряде случаев преобразование Фурье не позволяет быстро решить некоторые проблемы. Во-первых, для по­лучения преобразования на одной частоте требуется вся временная информа­ция о сигнале. Это означает, что должно быть известно будущее поведение сигнала. К тому же пик в сигнале во временной области распространяется по всей частотной области его преобразования Фурье. Во-вторых, если иссле­дуемый сигнал не имеет четкого периодического характера и его структура неоднородна во времени, эффективность алгоритма преобразования Фурье в значительной мере снижается, хотя он и остается полностью в силе. В частности не удается сэкономить объем данных за счет перехода от анали­тической модели сигнала во временной области к соответствующей модели в частотной области. Еще одним недостатком преобразования Фурье в таких случаях является его «глобальная» чувствительность к «локальным» скачкам и резким пикам амплитуды сигнала. При этом модификация коэффициентов Фурье (например, обрезание высоких гармоник с целью фильтрации шума) вносит одинаковые изменения в поведение сигнала на всей области опреде­ления.

При анализе же сигналов непостоянного, локального характера, часто выгодно определить корреляцию между временем и спектром сигнала. По­этому возникает задача — как связать особенности спектра и характера изме­нения сигнала во времени? При анализе сигнала с помощью преобразования Фурье исследуемая функция u(t), состоящая из непрерывной последователь­ности точек, заменяется на дискретную последовательность коэффициентов с_k. Есть при этом сжатие информации? Несмотря на кажущийся положитель­ный ответ, сжатия нет, поскольку необходимо задать бесконечную последова­тельность коэффициентов. Однако с практической точки зрения беско­нечностей просто не существует, так же как и нет непрерывных функций. Любой исследуемый сигнал задается конечной последовательностью точек, приближающих абстрактную функцию u(t) только с определенной точнос­тью. Если в процессе, анализа пренебречь несущественными деталями (в частности, исключить ряд коэффициентов с_k), т. е. аппроксимировать слож­ный сигнал более простым, можно прийти к реальной возможности сжатия информации, а следовательно, более высокой скорости передачи сигнала по линиям связи ценой некоторого искажения сигнала.

Итак, при исследовании нестационарных сигналов, не имеющих четкого периодического характера, наиболее эффективным было бы использование не тригонометрических, а некоторых локализованных во Времени компакт­ных базисов, коэффициенты разложения по которым сохраняют информацию об изменении параметров аппроксимируемого сигнала. Вначале попытки по­строения таких базисов функций сводились к сегментированию сигнала на фрагменты (окна) с применением для них разложения Фурье. Соответствую­щее преобразование — оконное преобразование Фурье — было предложено еще в 1946-47 годах, но оно не нашло широкого применения.

Инженер-геофизик Д. Морле (J. Morlet) в конце 70-х годов XX в. столк­нулся с проблемой анализа сигналов от сейсмодатчиков, которые содержали высокочастотную компоненту (сейсмическая активность) в течение короткого промежутка времени и низкочастотные составляющие (спокойное состояние земной коры) — в течение длительного периода. Оконные преобразования позволяли анализировать либо высокие частоты, либо низкочастотную ком­поненту в узком интервале (окне) времени, но не обе составляющие сразу. Поэтому был предложен метод анализа, в котором для различных сигналов использовались временные окна разной длительности.

Оконные преобразования получались в результате растяжения-сжатия и смещения по времени одной порождающей (называемой скейлинг-функцией — scaling function, scalet) функции — гауссиана (гауссов импульс). Эти базисные функции были названы вейвлетами — (английское слово wavelet — вейвлет — являющееся переводом французского «ondelette», можно формально перевести на русский язык словосочетанием «маленькая волна», «небольшое колебание», «компактная волна», «небольшие волны, следующие друг за другом») — одинако­вые, но разнесенные по времени и имеющие к тому же всевозможные растя­нутые или сжатые копии.

На базе такого подхода возникло целое направление в теории и технике сигналов, получившее название вейвлет-анализа. В отличие от традиционного преобразования Фурье, вейвлет-анализ имеет базис функций, локализован­ных и по времени t, и по частоте f. Поэтому сигнал можно анализировать од­новременно в физическом (время, координата) и в частотном пространствах. Вейвлет-анализ представляет собой как бы непрерывный континиум локаль­ных преобразований Фурье с различными окнами для каждой частоты. По существу вейвлет-анализ сигналов является промежуточным между полно­стью спектральным и полностью временным представлениями и отражает идею многомасштабного анализа сигналов. Условно способ многомасштабного, кратно-разрешающего или кратно-масштабного анализа (английские слова — multiscale и multiresolution), состоит в том, чтобы взглянуть на исследуемый объект (в данном случае сигнал) сначала с помощью микроскопа, потом — через лупу, затем посмотреть, отойдя на пару шагов, и, наконец, оценить издалека. Глядя в бинокль, микроскоп или кинокамеру и пытаясь уловить максимально четкое и крупное изображение интересующих объектов, во многих других случаях наблю­датель, не сознавая этого, проводит подобный анализ, и даже удивительно, почему он так долго не был математически исследован.

Сигнал, представленный по системе базисных функций вейвлета, уже можно записать в виде обобщенного ряда Фурье. Если сигнал на достаточно большом интервале времени не имеет резких скачков, то вейвлет растягива­ют по оси t и на нем проводят анализ; при этом существенно экономятся ре­сурсы обработки. При наличии резкого кратковременного выброса сигнала вейвлет сжимается до интервала этого выброса, и анализ проводится на дан­ном коротком интервале времени. В возможности использования разномас­штабного анализа и кроется большой выигрыш в представлении сигнала с помощью вейвлетов.

Функции базиса вейвлета принято называть масштабами в вейвлет терми­нологии, и обычно они обозначаются через ψ(t) или ψ(х). Коэффициенты та­кого разложения несут важнейшую информацию об эволюции сигнала в частотной и временной областях. Для каждой конкретной практической за­дачи можно подобрать наиболее эффективный вейвлет.

В настоящее время теорию вейвлет-анализа делят на два класса: непре­рывный и дискретный. По аналогии с преобразованием Фурье, непрерывный вейвлет-анализ часто называют непрерывным вейвлет-преобразованием (англ. — continuous wavelet transform — CWT), а дискретный вейвлет-анализ (англ. — discrete wavelet transform — DWT) — ортогональным.