Дискретный (ортогональный) вейвлет-анализ

Дискретным (ортогональным) вейвлет-анализом называют представление дискретных сигналов в виде обобщенного ряда Фурье по системе ортогональ­ных базисных функций, формирующихся из некоторого исходного (порож­дающего) вейвлета ψ(t). Применяется ортогональный вейвлет-анализ в ос­новном для сжатия данных (информации) и подавления шумов.

В науке о вейвлет-анализе естественным образом возникают музыкальные термины — набор значений вейвлет-преобразования при фиксированном масштабе а называют голосом, диапазон масштабов (или, что то же самое, частот) от а до 2а — октавой. Согласно музыкальной классике, на каждую октаву следует брать, по крайней мере, 12 голосов. Так вот, если сигнал име­ет скромную длину 2048 цифровых слов, то 8 октав займут 196608 слов. Из­быточность такого представления информации огромна и она занимает большой объем памяти цифровой техники, времени обработки и каналов свя­зи при передаче сигнала на расстояние. Поэтому ставится задача сжатия (компрессия) данных, причем допускаются несущественные потери инфор­мации при «разжатии». Идея состоит в том, чтобы запомнить вместо полного сигнала его «детали» на каждом из масштабных уровней, а также самую гру­бую версию сигнала. Очень быстро стало ясно, что для вполне точного вос­становления исходного сигнала достаточно знать вейвлет-преобразование на некоторой довольно редкой решетке в плоскости координат (х, а). Следова­тельно, и вся информация о сигнале содержится в этом сравнительно не­большом наборе значений.

Дело в том, что в реальных сигналах, несущих информацию об изображе­ниях, резкие скачки на малых масштабах встречаются редко. Большую часть этих величин в цифровой форме сигнала можно заменить нулями (на восста­новленном изображении это почти не скажется), а остальные записать более короткими цифровыми словами, чем основной сигнал. Такой массив можно довольно сильно сжать обычными, обратимыми методами.

Упрощенно идею многомасштабного дискретного вейвлет-анализа можно трактовать так: «большое» пространство «всех анализируемых сигналов» надо заполнить растянутыми или сжатыми копиями некоего «эталонного» про­странства, порожденного элементарным сигналом ψ(t) и его сдвигами по оси времени. По определению это эталонное пространство принимается за набор сигналов, которые можно представить с разрешением 1.

Рассмотрим простейший пример, показанный на рис. 2.63.

Пусть функция φ(х) - исходный единичный заштрихованный «столбик» на интервале [0, 1]; его сдвиги - аналогичные столбики на интервалах ..., [-2, -1], [-1, 0], [1, 2],... (рис. 2.63, а) Пространство сигналов (в нашем случае анализируемый сигнал u(t)) состоит из «лесенок», полученных умножением этих столбиков на определенные числа. Остальными пространствами сигна­лов служат перемасштабированные копии этих наборов столбиков. Одно из них получается растяжением в двое (в этом примере — лесенки из столбиков удвоенной ширины — рис. 2.63, б), второе — в четыре раза, третье — сжатием в два раза исходного фиксированного сигнала φ(х) (столбики половинной ширины), и так для всех положительных и отрицательных степеней двойки. Очевидно, что уменьшая ширину столбиков, можно аппроксимировать ими практически любой сигнал.

Для исходного сигнала φ(х) необходимо, чтобы его сдвиги вида φ(х − 1), φ(х − 2), ..., φ(х − k), ... были друг другу ортогональны (т. е. не коррелированны, что в данном примере, безусловно, выполняется). Сигналы, полученные с разре­шением 2, можно представить и с разрешением 1 (достаточно столбик удвоенной ширины разделить на два одинаковых столбика единичной ширины); в общем случае, растянутая вдвое скейлинг-функция должна выражаться через сдвиги ис­ходной скейлинг-функции. Этот факт выражается фундаментальным уравнением:

где h_k — некоторые коэффициенты.

Это функциональное уравнение самоподобия, или скейлинговое уравнение, и есть «уравнение колебаний» дискретного (ортогонального) вейвлет-преобразования. Для рассматриваемого примера h_k = 1 и уравнение имеет вид:

(2.254)

Графически столбик удвоенной ширины есть сумма двух соседних столбиков единичной, исходной ширины (рис. 2.63, б).

Оказывается, что если для функции φ(х) выполняется уравнение (2.253) и ее сдвиги ортогональны друг другу, то появляется очень эффективный способ представления сигналов. А именно, существует еще одна функция — обозначим ее как ψ(х), обладающая следующими свойствами:

• она выражается через сдвиги исходной функции φ(х) по формуле, анало-гичной (2.253), но с другими значениями коэффициентов h_k;

• у функции ортогональны друг другу не только сдвиги, но и все перемас­штабированные версии;

• и главное, эта функция является вейвлетом.

В рассматриваемом примере для функции φ(х) коэффициенты h_k равны 1 и 1, а для ψ(х) соответственно 1 и −1.

Ортогональные вейвлеты замечательны в первую очередь тем, что существу­ет очень быстрый алгоритм разложения по ним любого сигнала. Сам вейвлет показан на рис. 2.63, в и г; система его сдвигов и двоичных растя-жений и сжа­тий — это широко известный базис на основании функций А. Хаара (А. Haar), разработанный им еще в 1909 г. Хаар предложил использовать в математике специ­фическую функцию — импульс единичной амплитуды, сдвинутый по оси времени (рис. 2.63, д):

Из функции Хаара и был создан вейвлет, напоминающий зигзагообразную пря­моугольную волну и в общем виде описываемый формулой

Аналитически данную функцию вейвлета Хаара нагляднее представить в отно­сительном времени :.

Полный ортонормированный базис вейвлетов Хаара аналитически записывается как:

где — некоторая постоянная;j, k— положительные и отрицательные це-лые чис­ла, включая нуль.

Нетрудно убедиться в том, что функции ψ_jk(х) взаимно ортогональны:

если одновременно не выполняются равенства j = т и k = п.

Действительно, если j ≠ т, но k = n, то один из вейвлетов целиком размещается на том отрезке оси t, где другой вейвлет постоянен. Это ведет к обращению в нуль интеграла (2.259). Если j = т, но k ≠ n, то хотя бы один из сомножителей в подынте­гральном выражении (2.259) равен нулю.

Кажется что число функций в этом базисе в четыре раза больше, чем в известной записи обобщенного ряда Фурье, так как в последнем фигурируют только положи­тельные целочисленные индексы. На самом деле их ровно столько же; просто ис­пользована другая нумерация бесконечной последовательности чисел.

Построив ортонормированную базисную систему вейвлетов Хаара, можно осу­ществить представление произвольного сигнала u(t) в виде обобщенного ряда Фурье:

Согласно формулы (2.260), коэффициенты ряда Фурье c_jk являются скаляр­ными произведениями анализируемого сигнала и соответствующей базисной функции:

Формально обобщенный ряд Фурье вида (2.260) отличается от изучавшихся ранее тем, что суммирование проводится не по одному, а по двум индексам. Это обстоятельство несущественно, поскольку и одноиндексная и двухиндексная системы в равной мере принадлежат одному и тому же классу бесконечных счетных, т. е. перечислимых множеств.

В достаточно образной форме коэффициенты дискретного вейвлет-анализа (вейвлет-спектр) сигнала, принимающего вещественные значения, можно пред­ставить себе как некоторый «лес» из вертикальных отрезков, размещенных на jk-плоскости в точках с целочисленными координатами. При этом кобрдината j указывает на скорость изменения сигнала (отражает частоту спектра), а коорди­ната k — на положение вдоль оси времени (рис. 2.64).

Отметим интересные аналогии. Ортогональные вейвлеты реализуют специ­фическое покрытие плоскости «время — частота». Другими словами, сигнал раскладывается по октавам, без промежуточных голосов, т.е. ортогональный вейвлет-анализ является предельно экономным разложением, в противополож­ность непрерывному вейвлет-преобразованию, учитывающе-му вклад от каждой точки на плоскости время - частота.