Анализ при воздействии постоянного тока

Электронные цепи чаще всего питаются постоянным током, по­этому первый этап анализа активных нелинейных цепей - нахож­дение постоянных токов и напряжений на элементах цепи, т. е. определение положений рабочих точек. Такую задачу можно ре­шать графическим методом или численным (нагляднее, но менее точно). Последний выполняют на ЭВМ, он более точен, однако для этого нужны выражения характеристик нелинейных элемен­тов. Их получают путем аппроксимации экспериментальных ха­рактеристик, и они также неточны, поэтому на практике чаще используют графический метод.

Графический метод. Будем считать, что нелинейная цепь под­ключена к одному источнику. При этом цепь, состоящую из не­скольких нелинейных элементов, заменяют одним эквивалентным двухполюсником. Такая замена означает вычисление эквивалент­ной вольт-амперной характеристики путем упорядоченного сложе­ния вольт-амперных характеристик отдельных элементов. Напри­мер, если элементы соединены последовательно (рис. 12.2, а), то через них течет один и тот же ток. Их вольт-амперные харак­теристики располагаются так, как показано на рис. 12.2, б, в.

Складывая напряжения при одинаковых токах по точкам, получают эквивалентную вольт-амперную характеристику (рис. 12.2, г). При параллельном соединении нелинейных элементов приходится складывать токи, поэтому графики (рис. 12.2, б, в) удобно рас­полагать один над другим.

В итоге преобразования сложная нелинейная цепь представ­ляется цепью, состоящей из одного нелинейного элемента и источ­ника с нагрузкой (рис. 12.3, а). Анализируют такую цепь с помощью ее разбиения на две части: на линейный ак­тивный двухполюсник (эквивалентный источ­ник) и нелинейный двух­полюсник. На график вольт-амперной харак­теристики нелинейного элемента накладывается нагрузочная ха­рактеристика эквивалентного источника, которую строят по двум точкам: (и = Е, i = 0) и (u = 0, i = E/R_н) (рис. 12.3, б) Так как напряжения на зажимах обоих двухполюсников одинаковы, то точка пересечения вольт-амперных характеристик является рабо­чей. Ее координаты U₀ и I₀ — искомые постоянные напряжение и ток на нелинейном элементе.

Когда нелинейный элемент схемы (рис.12.3, а) составной, то после нахож-дения положения рабочей точки эквивалентного двух­полюсника приходится определять рабочие точки его составляю­щих. Например, если на графике рис. 12.2, г (i_l, u₀) - рабочая точка последовательно соединенных элементов, то (i_l, u₁) и (i_l, u₂) (рис. 12.2, б, в) — рабочие точки соответственно элементов R1 и R2.

Численный анализ. Решение задачи начинают с составления уравнений состояния по законам Кирхгофа. Специфика нелиней­ной цепи проявляется при замене в уравнениях токов напряже­ниями или напряжений токами и заключается в подстановке аппроксимированных вольт-амперных характеристик i = f (и). В итоге получается система нелинейных алгебраических уравне­ний, численное решение которых может производиться различ­ными методами. Наиболее широко применяют метод Ньютона и его модификации, поэтому остановимся только на нем.

Для наглядности предположим, что анализируемая нелинейная цепь описы-вается нелинейным уравнением

зависящим от одной переменной s. Решение уравнения (12.6) ищется итерационным путем — последовательным приближением начиная от какого-нибудь первого приближения s₁. Каждое (п+1)-е приближение к решению вычисляется по следующей формуле:

где s_n - n-е приближение; F'(s_n)— производная функции F (s) в точке s = s_n.

Итерационный процесс метода Ньютона сходится — решения s₂, s₃, ..., s_n приближаются к истинному значению решения s₀, если: а) начальное приближение s₁ выбрано достаточно близко к s₀; б) производная F'(s) не слишком близка к нулю; в) вторая про­изводная F"(s) не очень большая.

Модификации метода Ньютона обладают лучшей сходимостью и быстродействием вычислительного процесса. С ними, а также с другими методами численного анализа нелинейных цепей на ЭВМ можно познакомиться по [3, 25].