Режимы работы активного элемента - 8-

Нелинейные цепи общая характеристика

Активный или нелинейный элемент может работать в двух режимах: режим ключа (насыщения и отсечки) и режим шунта (малосигнальный или квазилинейный). Нелинейной считается электрическая цепь, содержащая хотя бы один нелинейный элемент.

В общем случае нелинейный элемент цепи характеризуется тем, что его параметры зависят от значения приложенного напря­жения или силы протекающего тока. Типичными примерами не­линейных элементов цепей могут быть диоды, транзисторы, ва­рикапы и др. Нелинейные элементы в теории цепей приближенно характеризуются статическими (для постоянного тока) и диффе­ренциальными (для переменного тока) параметрами.

Для нелинейных и линейных цепей справедливы законы Кирхгофа. Особенность нелинейных цепей в уравнениях, состав­ленных по законам Кирхгофа, отражается зависимостью коэффи­циентов уравнений от воздействий и реакций (напряжений и токов). Такие уравнения считаются нелинейными.

При анализе нелинейных цепей нельзя пользоваться принци­пом суперпозиции, так как параметры цепи при одном источнике отличаются от параметров при нескольких источниках. Нелинейные цепи анализируют путем решения в общем случае нелиней­ных дифференциальных уравнений. Ввиду сложности задачи раз­работаны и разрабатывают новые методы численного решения нелинейных уравнений на ЭВМ. На практике часто пользуются различными приближенными методами или ограничиваются только качест-венными выводами, например имеет или не имеет данная цепь какое-нибудь устойчивое состояние.

Зависимость параметров нелинейных элементов от воздействий и реакций позволяет их применять в качестве элементов с управ­ляемыми параметрами и создать параметрические цепи — цепи, параметры которых изменяются во времени. Коэффициенты уравне­ний параметрических цепей представляют собой функции времени.

Свойства нелинейных и параметрических цепей существенно отличаются от свойств линейных. Основное отличие заключается в возможности преобразования спектра воздействия. Если в спектре реакции линейной цепи не может быть компонентов с частотами, которых не было в воздействии, то реакции нелинейных и пара­метрических цепей могут содержать новые частотные компоненты. Это свойство нелинейных цепей используют для модуляции, де­тектирования сигналов и преобразования частоты, а также для генерирования колебаний, преобразования их формы.

Линейная цепь, эквивалентная нелинейной, получается при замене характеристик нелинейных элементов линейными с исполь­зованием дифференциальных параметров элементов цепи. Так, например, нелинейная вольт-амперная характеристика i = f (и) заменяется характеристикой i = u/R_d, вольт-кулонная q = f (и) заменяется соответственно q = C_d·u, где дифферен-циальные сопро­тивление и емкость определяются выражениями (3.29) и (3.31).

Аппроксимация характеристик

Характеристики нелинейных элементов цепей определяют экспе­риментальным путем и представляют в виде таблиц или графиков. Нахождение аналитической функции по экспериментальным данным называется аппроксимацией. На практике пользуются сравни­тельно простыми аппроксимирующими функциями, удобными при аналитическом исследовании, хотя и не точно представляющими реальную характеристику. Основное требование к аппроксими­рующей функции следующее: она должна быть подобна реальной характеристике, а требования к точности аппроксимации зависят от назначения элемента.

Ниже рассматриваются методы аппроксимации вольт-амперных характеристик. Эти методы также пригодны и при аппроксимации вольт-кулонных и ампер-веберных характеристик.

Аппроксимация степенным полиномом. Если характеристика нелинейного элемента имеет вид гладкой кривой i = f (и) (кривая и ее производные непрерыв-ны), то такая кривая может быть представлена в виде бесконечного степенного ряда

где а₀, a₁, а₂, ...—постоянные коэффициенты.

Ограничивая ряд (12.3) первыми я членами, получаем аппро­ксимацию функции f(и) в виде полинома n-й степени:

Коэффициенты а₀, a₁, а₂, ..., а_п полинома (12.4) часто опреде­ляются из условия совпадения аппроксимируемой и аппроксими­рующей кривых в n+1 точке на рабочем участке характерис­тики. Подставляя координаты выбранных точек (i_k, u_k) в (12.4), находим систему из n+1 уравнения, которая решается относи­тельно неизвестных коэффициентов. Очевидно, увеличение п спо­собствует повышению точности аппроксимации.

Однако с увеличением п растет и объем необходимых вычис­лений, который, кстати, не слишком существен, если используется вычислительная машина. При качественном рассмотрении нели­нейных цепей ограничиваются полиномами второй или третьей степени.

На рис. 12.1, а сплошной линией показана вольт-амперная характеристика диода, а штриховой — график аппроксимирующего полинома второй степени. Кривые совпадают в точках О, А и В. На рис. 12.1, б аналогично показаны вольт-амперная характе­ристика туннельного диода и ее аппроксимирующая функция — неполный полином третьей степени

где и₀ — напряжение в точке симметрии А. Значения коэффици­ентов аппроксимирующих полиномов приведены на рис. 12.1.

Кусочно-линейная аппроксимация. В качестве аппроксимирую­щей функции используется уравнение прямой

где i₀, S — коэффициенты, определяющие положение прямой.

Аппроксимируемую характеристику разбивают на участки и для каждого проводят отрезок прямой. В аналитическое выраже­ние наряду с уравнениями прямых входят также и граничные значения переменных, указывающие интервал действия конкрет­ного уравнения. Повышение точности аппроксимации достигается увеличением числа участков, что, однако, усложняет аналитическое выражение.

На рис. 12.1, в показана аппроксимация отрезками двух пря­мых Ои₀ и и₀АВ вольт-амперной характеристики диода. Уравне­ние первого отрезка

уравнение второго

Параметры S и и₀ для рассматриваемого примера указаны на рис. 12.1, в.