1.5. Барометрическая формула. Классическое распределение Максвелла-Больцмана

Рассмотрим газ в сосуде (см. рис.1.4). Как молекулы распределены по высоте

Слой dH создаёт дополнительное давление dP = -gdH , но плотность

, где m₀ - масса молекулы

Тогда или.

Рис. 1.4.

Проводя интегрирование данного уравнения от Н=0 до Н, получим: ,где Р₀ – давление газа на уровне Н=0, Р – давление на высоте Н.

Отсюда получаем формулу, которую называют барометрической:

Барометрическая формула (1.9)

Поскольку Р=nkТ, то при Т=const концентрация n пропорциональна давлению p и изменяется с высотой по аналогичному закону: n = n₀ exp().

И

T₂>T₁

A

так, функция распределения молекул по высоте имеет вид:

T₁

(1.10)

(где W_п=m₀gH – потенциальная энергия молекулы коэффициент А определяется из нормировки). Графики функции распределения молекул по высоте представлены на рис.1.5.

Ясно, что высоты Н достигают лишь быстрые молекулы (рис.1.6), у которых m₀V²/2  m₀.gH, поэтому можно ожидать, что распределение по кинетическим энергиям такое же, как и по потенциальным (так оно и есть).

Функция распределения по проекциям скоростей молекул на любую ось:

(1.11)

Можно показать, что распределение молекул по абсолютным скоростям имеет следующий вид:

(1.13)

Это называется распределением Максвелла по абсолютным скоростям (рис.1.7).

Распределения Максвелла и Больцмана можно объединить:

, (1.14)

где W_пW_k– потенциальная и кинетицеская энергия молекулы. Это распределение носит имя Максвелла- Больцмана.

При температуре абсолютного нуля Т=0 молекулы падают на дно сосуда и перестают двигаться.

1.6. Явления переноса

Мы рассмотрим три явления переноса: теплопроводность, внутреннее трение и диффузию. Диффузия заключается в возникновении в газах или жидкостях направленного переноса массы. Внутреннее трение- это перенос импульса, а теплопроводность заключается в направленном переносе внутренней энергии.

Рассмотрим длину свободного пробега частиц , т. е. расстояние, которое в среднем проходит молекула между столкновениями. За время  t молекула пройдёт растояние <V>  t. Спрямим ее путь (рис.1.8).

Рис.1.8. Молекула столкнется со всеми молекулами, центры которых окажутся на расстоянии меньше 2r

Введём радиус молекулы как радиус такого твёрдого шарика, которым можно заменить молекулу при рассмотрении ее столкновений. По пути молекула заденет все другие молекулы, центры которых находятся в цилиндре радиусом 2r и длиной <V>t(рис.1.8).

Число  Z столкновений за время  t равно числу молекул внутри цилиндра, а эта величина произведению объема цилиндра (2r)²<V>t на концентрацию молекул n₀:

 Z = (2r)² <V>  t n₀ = 4r² <V>  t n₀ , где n₀ - концентрация молекул

Учитывая за счёт относительного движения молекул, получим число столкновений за единицу времени: Z =Z/t = 4 r²<V> n₀ = 4 <V> n₀ . Величина  = r² называется эффективным сечением молекулы.

Итак, мы получили длину свободного пробега : (1.15)

Длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации молекул n₀ (давлению).

а) Диффузия  это перенос массы из мест с большей плотностью  к местам c меньшей плотностью (рис.1.9).

Перенос массыМ пропорционален:

М -/Z - градиенту плотности  (его физический смысл - изменение плотности на 1 длины).

М  S - площади переноса

М  t – времени переноса

В результате получаем уравнение диффузии:

М = - D(d/dZ) St уравнение диффузии (Закон Фика) (1.16)

D - называют коэффициентом диффузии. Из классической молекулярно-кинетической теории можно показать, что D = (1/3) <V> , где <V> - средняя скорость движения молекул,  - длина свободного пробела.

б) Теплопроводность  перенос теплоты (внутренней энергии) от более нагретых частей к менее нагретым (рис.1.10).

Перенос тепла пропорционален:

Q  -T/Z - градиенту температуры

Q  S - площади переноса

Q  t - времени переноса

В результате получаем уравнение теплопроводности: , (1.17)

где  - называется коэффициентом теплопроводности. Из классической теории где - удельная теплоемкость при постоянном объеме,  - плотность,  - длина свободного пробега.

в) Внутреннее трение  (вязкость) возникает между слоями жидкости или газа, движущимися с различными скоростями (рис.1.11).

Сила трения разгоняет медленный слой и тормозит быстрый.

Сила трения пропорциональна:

F_тр  -U/Z - градиенту скорости потоков

F_тр  S – площади соприкосновения слоев

В результате получаем уравнение для внутреннего трения:

(1.18)

где  - коэффициент внутреннего трения (динамичная вязкость) .Из классической теории можно получить:

 = (1/3)<V>,

где - плотность вещества,<V> - средняя скорость молекул,- длина сводного пробега молекул.

Из (1.16), (1.17) и (1.18) получаем связь между коэффициентами переноса:

 = ; =  D.