МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИБОРОСТРОЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ

Русаков Алексей Михайлович

RusakovAM.narod.ru

Лекции по дисциплине «Дискретная математика»

Москва 2011

Оглавление.

Введение. 3

Глава 1. Теория множеств. 4

Глава 2. Теория графов. 44

Глава 3. Основы теории формальных грамматик. 85

Глава 4. Теория автоматов. 101

Глава 5. Теория булевых функций. 152

Глава 6. Элементы теории доказательств. 172

Глава 7. Элементы комбинаторики. 186

Глава 8. Основная часть: практическая работа студентов 198

Практическое занятие №1. Разработка синтаксических анализаторов для регулярных языков. 198

Домашняя работа №1. По всей теории 213

Домашняя работа №2. Способы задания графов 214

Глава 9. Дополнительная часть: практическая работа студентов 280

Практическое занятие №1. Работа с регулярными выражениями на основе PERL . 280

Глава 10. Дополнительные материалы. 292

Глава 11. Список литературы. 295

Введение.

Дискретная математика — часть математики, которая зародилась в глубокой древности. В широком смысле этого слова к дискретной математике относятся как классические разделы математики: алгебра, теория чисел, теория множеств, математическая логика и т.д., так и новые разделы, которые возникли в середине прошлого столетия в связи с внедрением ЭВМ в практическую жизнь. В настоящее время понятие «дискретная математика» употребляется в узком смысле только для тех разделов современной математики, которые связаны с областью компьютерной науки. К ним относятся:

1. Теория множеств.

2. Теория графов.

3. Теория автоматов.

4. Теория формальных грамматик.

5. Теория булевых функций (переключательные функции).

6. Комбинаторика и другие разделы современной «компьютерной» математики.

Сегодня дискретная математика является важным звеном математического образования. Умение пользоваться «математическими аппаратами» дискретной математики является обязательным квалификационным требованием к специалистам в области информационных технологий.

1. Теория множеств.

   1. Понятие множества. Операции над множест­вами.

В математике встречаются самые разнообразные множества. Можно говорить о множествах граней многогранника, точек, чисел и т.д.

Теория множеств, возникшая в конце XIX века, оказала и продолжает оказывать большое влияние на всю математику в целом.

По определению Георга Кантора (биография приведена в разделе дополнительные сведения), основоположника теории множеств, множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции или интеллекта, мыслимое нами как единое целое. Между отдельными объектами и множествами существует отношение принадлежности. Как правило, множества обозначают прописными буквами, а их элементы — малыми, которые перечисляются внутри фигурных скобок через запятую .

Определение.

Утверждение "элемент принадлежит множеству " символически записывается так: или , "элемент не принадлежит множеству " записывается так: или .

Определение.

Если все элементы, из которых состоит , входят и в , причем случай не исключается, то называется подмножеством .

Записывается это так: .

Например, целые числа образуют подмножество в множестве действительных чисел.

Иногда не известно заранее, содержит ли некое множество, например, множество действительных корней данного уравнения, хотя бы один элемент. Поэтому целесообразно ввести понятие пустого множества.

Определение.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством. Его обозначают символом .

Следствие из определения.

Любое множество содержит в качестве подмножества множество .

Определение.

Подмножества множества, отличные от него самого и от , называются собственными.

Определение.

Пусть и — множества. Тогда их суммой или объединением называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств или .

Рис. 1.1. .

Аналогично определяется сумма любого (конечного или бесконечного) числа множеств, а именно:

если — произвольное множество, то их сумма — есть совокупность элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из множеств .