Замечание.

Понятие разбиения множества на классы тесно связано с понятием отображения, а именно:

Пусть ƒ – отображение множества А в множество В, то есть ƒ: . Множество элементов А, образы которых в В совпадают, образуют класс элементов, то есть возникает некоторое разбиение множества А.

Пусть В – совокупность тех классов, на которые разбито множество А. Ставя в соответствие каждому элементу а  А тот класс ( то есть элемент из В), к которому а принадлежит, то есть g:  a  Ка, получаем отображение А на множество В.

Примеры.

1. Пусть ƒ – проекция плоскости хy на ось х. Прообразы точек оси х – вертикальные прямые. Следовательно, этому отображению отвечает разбиение плоскости на параллельные прямые.

2. Разобьём все точки трехмерного пространства на классы, объединив в один класс точки, равноудаленные от начала координат. Каждый класс представляет собой сферу некоторого радиуса. Совокупность всех этих классов можно отождествить с множеством всех точек, лежащих на луче [0, ), то есть разбиению трёхмерного пространства на концентрические сферы отвечает отображение этого пространства на полупрямую ƒ: re^i  r (двумерный случай) или ƒ: r(i cos + j cos + k cos)  r(трёхмерный случай).

3. Объединим в один класс все действительные числа с одинаковой дробной частью. Этому разбиению отвечает отображение прямой линии на отрезок [0, 1): ƒ: d.k  0.k.

6. Упорядоченные множества. Изоморфизм теории множеств.

Определение.

Пусть М – произвольное множество,  – бинарное отношение, определяемое некоторым множеством . Это отношение называется частичной упорядоченностью, если оно удовлетворяет условиям:

1. рефлексивности: ;

2. транзитивности: из ;

3. антисимметричности: из

Частичную упорядоченность обозначают символом .

Определение.

Множество, в котором задана некоторая частичная упорядоченность, называется частично упорядоченным.

Примеры.

Всякое множество можно тривиальным образом рассматривать как частично упорядоченное, если положить , то есть за частичную упорядоченность всегда можно принять отношение тождества .

Пусть М – множество всех непрерывных функций на отрезке . Положим . Это будет частичная упорядоченность функций из .

Множество всех подмножеств некоторого множества М частично упорядочено по включению, то есть означает .

Множество всех натуральных чисел частично упорядочено, если означает “b делится без остатка на а”.

Определение.

Элемент а называется максимальным, если из следует, что .

Определение.

Элемент а называется минимальным, если из следует, что .

Определение.

Частично упорядоченное множество, для любых двух точек а, b которого найдется следующая за ними точка с , называется направленным.

Определение.

Пусть:

1. М и – частично упорядоченные множества;

2. .

3. Отображение сохраняет порядок, то есть если из , где .

Тогда.

Отображение называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств М и , если оно

1. биективно (существует взаимооднозначное соответствие между элементами множеств М и );

2. соотношение .

Пример.

Пусть

М – множество натуральных чисел, частично упорядоченное по “делимости”;

— множество натуральных чисел, упорядоченное естественным образом, то есть , если – неотрицательное число, то есть .

Тогда отображение , то есть ставящее  числу n его само:

1. сохраняет порядок;

2. не является изоморфизмом.

Замечание.

Отношение изоморфизма между частично упорядоченными множествами представляет собой отношение эквивалентности (рефлексивность, транзитивность, симметричность). Следовательно, какое-либо множество частично упорядоченных множеств можно разбить на классы изоморфных между собой подмножеств.

Определение.

То общее, что присуще любым двум изоморфным между собой частично упорядоченным множествам, называется порядковым типом.

Определение.

Пусть

М – частично упорядоченное множество;

;

не выполняется ни одно из соотношений и .

Тогда а и b называются несравнимыми элементами.

Определение.

Если в частично упорядоченном множестве М несравнимых элементов нет, то множество М называется упорядоченным (линейно упорядоченным, совершенно упорядоченным), то есть если оно:

частично упорядочено;

для имеет место либо .

Замечания.

Всякое подмножество упорядоченного множества само упорядочено.

Так как упорядоченность есть частный случай частичной упорядоченности, то можно говорить о порядковом типе упорядоченного множества.

Примеры.

Пусть = – множество натуральных чисел с естественным отношением порядка. Его порядковый тип обозначают .

Если два частично упорядоченных множества изоморфны между собой, то они, конечно, имеют одинаковую мощность, так как изоморфизм – это биекция. Следовательно, можно говорить о мощности, отвечающей данному порядковому типу, например, типу  отвечает мощность . Однако обратное неверно, так как множество данной мощности может быть упорядочено, вообще говоря, многими разными способами.

Порядковый тип линейно упорядоченного конечного множества однозначно определяется числом n его элементов и обозначается n.

Для счётного множества натуральных чисел возможен такой тип: то есть любое чётное число следует за любым нечётным, при этом чётные и нечётные числа упорядочены по возрастанию.