Определение.

Частичным автоматом называется абстрактный автомат, у которого функция переходов или функция выходов (обычная или сдвинутая), или обе эти функции определены не для всех пар значений своих аргументов q и х. В отличие от частичных, ранее рассмотренные автоматы назывались вполне определенными.

12. Автоматные отображения и события. Определение.

Отображения, индуцируемые абстрактными автоматами, будем называть автоматными отображениями.

Всякое автоматное отображение удовлетворяет следующим четырем условиям автоматности:

1. Автоматное отображение осуществляет однозначное отображение (как правило, частичное) множества слов в некотором конечном алфавите Х (входное алфавитное отображение) в множества слов в некотором конечном алфавите Y (выходное алфавитное отображение).

2. Область определения автоматного отображения удовлетворяет условию полноты, то есть вместе с любым содержащимся в ней словом также содержатся все начальные отрезки этого слова. Пустое слово всегда входит в область определения отображения.

3. Автоматное отображение сохраняет длину слова. Любое слово p входного алфавита на котором отображение определено, имеет ту же длину, что и его образ (p). В частности, пустое слово переводится отображением в пустое слово.

4. Автоматное отображение переводит любой начальный отрезок слова р, на котором оно определено, в соответствующий (имеющий ту же длину) начальный отрезок слова (p).

Определение.

Перечисленные условия (1-4) называются условиями автоматности отображения.

Все слова входного алфавита разбиваются автоматным отображением на два класса: на класс допустимых и класс запрещенных слов.

Определение.

Совокупность всех запрещенных слов для данного автоматного отображения будет называться его областью запрета.

Рассмотрим произвольное (частичное) отображение , для которого выполняются сформулированные выше условия. Построим абстрактный (частичный) автомат Мура U, состояниями которого будут служить всевозможные допустимые для отображения слова входного алфавита

Х=(х₁,…, х_n).

Обозначим множество всех таких слов через А и определим функцию переходов δ(а,x) этого автомата следующим образом: если а_j – любое слово из А, а x_i – произвольная буква входного алфавита, то будем считать, что δ(а_j,x_i) равняется слову а_jx_i (получающемуся в результате приписывания буквы x_i к слову а_j), если слово а_jx_i содержится в А, и что δ(а_j,x_i) не определена в противном случае.

Выбирая в качестве выходного алфавита автомата U выходной алфавит отображения φ, построим сдвинутую функцию выходов λ(а) автомата Мура U следующим образом: для любого непустого слова а_i из А полагаем λ(а_i) равным последней букве слова φ(а_i); на пустом слове функция λ(a) остается неопределенной.

В качестве начального состояния автомата выбираем пустое слово ε и получаем автомат Мура, индуцирующий исходное отображение φ. В самом деле, пусть, q=x_i1,x_i2,…,x_ik – любое допустимое слово отображения φ. Тогда все его начальные отрезки будут также допустимыми словами (в силу условия 2). После подачи на вход построенного автомата слова q, будет осуществляться последовательный его перевод в состояние ε x_i1=x_i1,x_i2,…, x_ik.

При этом автомат выдает некоторую последовательность выходных букв y_j1,y_j2,…,y_jk=p. Из способа определения данного автомата следует, что последняя буква слова р совпадает с последней буквой слова φ(q), предпоследняя буква слова р – с последней буквой слова φ(x_i1,x_i2,…,x_ik-1), которая в силу условия 4, совпадает с предпоследней буквой слова φ(q) и т. д. Продолжая сравнение и используя условия 3, можно установить совпадение всех букв слова р с соответствующими им буквами слова φ(q). Следовательно, построенный автомат Мура U индуцирует исходное (частичное) отображение φ. Поскольку можно интерпретировать автомат Мура U как автомат Мили, то очевидно следующее предложение.