110

3.3. Технические и программные средства обеспечения дисциплины

При выполнении расчетов практических и контрольной работ можно использовать табличный процессор Excel. Примеры использования ТП Еxcel приводятся в разделе 3.4 “Методические указания к выполнению практических работ” УМК.

3.4. Методические указания к выполнению практических работ

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Целью методических указаний к выполнению практических работ является освоение студентами методики эконометрического моделирования, приобретение ими практических навыков использования инструментов корреляционно-регресионного анализа MS Excel для обработки и анализа экономико-финансовой информации.

Впрактических работах рассмотрены основные вопросы множественной регрессии: метод наименьших квадратов, отбор факторных переменных модели регрессии на основе корреляционного анализа данных, анализ статистической значимости параметров модели и уравнения в целом, коэффициенты множественной и частной корреляции и детерминации, доверительные интервалы, обнаружение автокорреляции и мультиколлинеарности, нелинейные связи, производственные функции.

Вкаждой практической работе излагается порядок выполнения работы, приводится решение типовой задачи и варианты индивидуальных заданий для самостоятельной работы.

Квыполнению работ допускаются студенты, изучившие основные теоретические положения и ознакомившиеся с порядком выполнения работ.

Отчет по практической работе должен содержать: - наименование работы;

- текст индивидуального задания, записанный без сокращений;

111

-краткое изложение теоретического материала;

-результаты расчетов с необходимыми пояснениями;

-выводы.

Практическая работа 1 МНОЖЕСТВЕННАЯ ЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ

1. Цель работы

Освоение методики эконометрического моделирования с использованием инструментов регрессионного анализа MS Excel.

2. Порядок выполнения практической работы

Задание 1. В табл. 3.1 приведены данные о курсе доллара ( x1, руб.),

фондовом индексе ( x2 ) и котировке акций ( y , ден. ед.) за 11 дней.

Таблица 3.1

Требуется:

1)построить уравнение множественной линейной регрессии и дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения;

2)оценить стандартную ошибку регрессии и стандартные ошибки коэффициентов;

3)построить доверительные интервалы для коэффициентов регрессии, соответствующие доверительной вероятности β = 0,95;

4)оценить статистическую значимость коэффициентов регрессии с помощью t-критерия при уровне значимости α = 0,05 ;

5)оценить на уровне 0,05 полученное уравнение на основе коэффициента детерминации и F-критерия Фишера;

6)вычислить статистику DW (Дарбина-Уотсона) и оценить наличие автокорреляции;

7)сделать выводы по качеству построенной модели.

112

Задание 2. В табл. 3.2 приведены данные по темпам прироста заработной платы y (%), производительности труда x1 (%), а также уровню инфляции x2 (%) за 15 лет.

Таблица 3.2

Требуется:

1)оценить уравнение множественной линейной регрессии и дать экономическую интерпретацию коэффициентов уравнения;

2)оценить статистическую значимость каждого из коэффициентов регрессии с помощью t-статистики Стьюдента при уровне значимости α = 0,05

ипутем расчета доверительного интервала;

3)оценить на уровне 0,05 полученное уравнение на основе коэффициента детерминации и F-критерия Фишера;

113

4)вычислить значение статистики DW (Дарбина-Уотсона) и на ее основе определить наличие автокорреляции;

5)сделать выводы по качеству построенной модели.

Данные для анализа из табл. 3.1 следует выбрать в соответствии с последней цифрой шифра k , а объем выборки n уточнить у преподавателя.

Выполнение задания 1. Для выполнения задания воспользуемся пакетом MS Excel.

1. Введем исходные данные: матрицу X значений независимых переменных введем в ячейки A3:C13, а вектор-столбец Y значений зависимой переменной – в ячейки D3:D13 (см. табл. 3.3). Объем выборки, равный в нашем примере 11, укажем в ячейке B1.

Коэффициенты регрессии рассчитаем по формуле (2.1.11) как результат перемножения матриц (X т X )−1 и X тY . Для вычисления матрицы (X т X )−1

необходимо:

•выделить ячейки A18:C20 для размещения матрицы;

•набрать формулу =МОБР(МУМНОЖ(ТРАНСП(А3:C13);А3:C13));

•нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Чтобы вычислить матрицу X тY , необходимо:

•выделить ячейки D18:D20 для размещения матрицы;

•набрать формулу =МУМНОЖ(ТРАНСП(А3:C13);D3:D13);

•нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

Для определения вектора коэффициентов регрессии необходимо:

•выделить ячейки F18:F20 для размещения вектора;

•набрать формулу =МУМНОЖ(А18:C20;D18:D20);

•нажать клавиши CTRL+SHIFT+ENTER.

По результатам вычислений (см. ячейки F18:F20 табл. 3.3) составим уравнение регрессии:

114

Оценка коэффициента b1 = 2,75 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением курса доллара на 1 руб. стоимость акций увеличится в среднем на 2,75 ден. ед. Оценка коэффициента b2 = 2,82 показывает, что при прочих равных условиях с увеличением фондового индекса на единицу стоимость акций увеличится в среднем на 2,82 ден. ед. Заметим, что при множественной регрессии из-за наличия связи между факторами трактовка параметров регрессии не является такой же четкой и ясной, как в случае парной регрессии.

2.Остаточную дисперсию S 2 вычислим по формуле (2.1.16).

1)Найденное уравнение (3.1) позволяет рассчитать теоретические значения yˆi . В ячейку E3 введем формулу =$F$18+$F$19*B3+$F$20*C3 и

скопируем эту формулу в ячейки E4:E13.

2) Остатки ei = yi − yˆi рассчитаем в ячейках F3:F13, а ei2 – в ячейках

G3:G13: в F3 введем формулу =D3-E3 и скопируем ее в ячейки F4:F13, а в G3 – формулу =F3^2 и копируем в G4:G13.

3) Для вычисления суммы квадратов остатков в ячейку G14 введем формулу =СУММ(G3:G13), для вычисления остаточной дисперсии в ячейку G15 введем формулу =G14/(B1-2-1). Значение стандартной ошибки регрессии найдем в ячейке G16 по формуле =КОРЕНЬ(G15).

Для определения стандартных ошибок коэффициентов регрессии с использованием соотношения (2.1.17) введем формулы в следующие ячейки:

H18: =КОРЕНЬ(A18*G15), H19: =КОРЕНЬ(B19*G15), H20: =КОРЕНЬ(C20*G15).

В результате вычислений получены следующие значения (см. табл. 3.3):

соотношением (2.2.1).

115

Таблица 3.3

116

tкр определим в ячейке J21: =СТЬЮДРАСПОБР(1-0,05; B1-2-1). Введем в ячейки F23:G25 формулы для нахождения границ доверительных интервалов параметров. Вычислим нижнюю границу доверительного интервала для b0 в

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов позволяет сделать вывод о статистической значимости коэффициентов b1 и b2 (коэффи-

циенты существенно отличны от нуля) и статистической незначимости коэффициента b0 .

4. Анализ значимости коэффициентов регрессии выполним путем проверки нулевой гипотезы H0 : a j = 0. С целью проверки этой гипотезы для

члена в уравнении лишь уточняет вид зависимости, а в экономическом смысле он отражает воздействие “внешней среды”. Поэтому, если нет других причин, свободный член в модели лучше сохранить.

117

Заметим, что выводы о значимости коэффициентов уравнения регрессии, сделанные на основании t-статистики и на основании доверительных интервалов, одинаковы.

5. Для нахождения коэффициента детерминации по формуле (2.2.2 ОК)

прежде рассчитаем сумму в знаменателе формулы. Значение y вычислим в ячейке D15: =СРЗНАЧ(D3:D13). Слагаемые (yi − y)2 рассчитаем в ячейках

H3:H13: введем в H3 формулу =(D3-$D$15)^2 и скопируем ее в H4:H13. Значение суммы найдем в H14 по формуле =СУММ(H3:H13).

Коэффициент детерминации вычислим по формуле (2.2.2 ОК) в ячейке B24: =1-G14/H14, а скорректированный коэффициент детерминации – по формуле (2.2.4 ОК) в ячейке B25: =1-(1-B24)*(B1-1)/(B1-3).

Полученные значения коэффициента детерминации R2 = 0,957 и

скорректированного коэффициента детерминации R2 = 0,947 (см. табл. 3.3)

близки к 1, что свидетельствует о тесной зависимости между факторами и результатом. Построенное уравнение регрессии объясняет 95,7 % разброса зависимой переменной.

Для определения статистической значимости коэффициента детерминации

R2 проверяется нулевая гипотеза для F-статистики, вычисляемой по формуле (2.2.5 ОК). Наблюдаемое значение F-статистики вычислим в ячейке B27: =B24*(B1-3)/(2*(1-B24)), критическое значение – в ячейке B28: = FРАСПОБР(1-0,95;2;B1-2-1).

Так как Fнабл =89,96 > Fкр = 4,46 , то коэффициент детерминации R2 ста-

тистически значим. Можно сделать вывод, что совокупное влияние переменных x1 и x2 на переменную y существенно.

6. Статистику Дарбина-Уотсона вычислим по формуле (3.2.1 ОК). Рассчитаем элементы суммы, стоящей в числителе: введем в ячейку I4 формулу = (F4-F3)^2 и скопируем ее в ячейки I5:I13. Значение самой суммы вычислим в

118

I14 по формуле =СУММ(I4:I13), а значение статистики Дарбина-Уотсона – в

ячейке I27: = I14/G14.

При заданном уровне значимости α = 0,05 и числе наблюдений n =11

автокорреляции не отклоняется, то есть имеются основания считать, что автокорреляция остатков отсутствует.

7. По всем статистическим показателям модель может быть признана удовлетворительной. У нее высокие t-статистики, хороший коэффициент детерминации R2 . В модели отсутствует автокорреляция остатков. Все это позволяет использовать построенную модель для целей анализа и прогнозирования.

Полученные результаты довольно быстро можно проверить с помощью инструмента анализа данных Регрессия. Для этого выполним команду СервисАнализ данных-Регрессия-OK. Введем необходимые параметры в диалоговое окно Регрессия (см. рис.).

Входной интервал Y – диапазон, содержащий данные результативного признака.

Входной интервал X – диапазон, содержащий данные факторных признаков.

Константа-ноль – флажок, указывающий на наличие или отсутствие свободного члена в уравнении.

Уровень надежности – флажок, указывающий на значение доверительной вероятности, отличное от 95 % (отсутствие флажка означает, что доверительная вероятность по умолчанию предполагается равной 95 %).

Выходной интервал – достаточно указать левую верхнюю ячейку будущего диапазона.

Новый рабочий лист – можно задать произвольное имя нового листа.

119

Диалоговое окно ввода параметров инструмента Регрессия

Результаты регрессионного анализа для данных нашего примера представлены в ячейках A30:I48 табл. 3.3. Значения коэффициентов регрессии приведены в столбце Коэффициенты (см. ячейки B46:B48): в строке Y- пересечение находится значение b0 = −13,6 , в строке Переменная x1 – значение b1 = 2,75 , в строке Переменная x2 – значение b2 = 2,82. В соседних столбцах приведены стандартные ошибки (см. ячейки C46:C48) и t-статистики (см. ячейки D46:D48) коэффициентов регрессии.

В столбцах Нижние 95 % и Верхние 95 % приведены границы доверительных интервалов для параметров регрессии (см. ячейки F46:G48). Последние два столбца дублируют границы доверительных интервалов в тех случаях, когда по умолчанию принимается значение доверительной вероятности, равное 95 %.

Значение коэффициента детерминации находится в ячейке B34, значение скорректированного коэффициента детерминации – в ячейке B35, значение F-статистики – в ячейке E41, стандартное отклонение регрессии – в ячейке B36.

120

Как видим, результаты вычислений по формулам и с помощью инструмента Регрессия совпадают.

Литература: [1], с. 108-115.

Практическая работа 2

НЕЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ 1. Цель работы

Навыки построения нелинейной регрессии по экспериментальным данным.

2. Порядок выполнения практической работы

Задание 1. В табл. 3.4 приведены данные по 15 предприятиям отрасли для анализа зависимости объема выпуска продукции Y (млн руб.) от численности занятых на предприятии L (тыс. чел.) и среднегодовой стоимости производственного оборудования K (млн руб.). Требуется:

1)оценить производственную функцию Кобба-Дугласа и дать интерпретацию параметров уравнения;

2)найти множественный индекс корреляции;

3)дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и F-критерия Фишера на уровне 0,05;

4)оценить качество модели через среднюю ошибку аппроксимации.

Таблица 3.4

Задание 2. В табл. 3.5 приведены данные (усл. ед.) по объемам выпуска Y , затратам капитала K и труда L на предприятиях некоторой отрасли. Требуется:

1) оценить производственную функцию Кобба-Дугласа и дать интерпретацию параметров уравнения;

121

2)найти множественный индекс корреляции;

3)дать оценку полученного уравнения на основе коэффициента детерминации и F-критерия Фишера на уровне 0,05;

4)оценить качество модели через среднюю ошибку аппроксимации.

Таблица 3.5

Данные для анализа из табл. 3.5 следует выбрать в соответствии с последней цифрой шифра k, а объем выборки n – в соответствии с указаниями преподавателя.

Выполнение задания 1. Для выполнения задания воспользуемся пакетом MS Excel.

1. Введем исходные данные в ячейки B3:D17 (см. табл. 3.6). Объем выборки, равный в нашем примере 15, укажем в ячейке A1.

122

Поскольку предполагается регрессионная зависимость в форме функции Кобба-Дугласа, то воспользуемся соотношениями (2.4.6) – (2.4.7) для линеаризации модели.

Рассчитаем преобразованные по формулам (2.4.7 ОК) выборочные значения. Для определения значений ln Yi введем в ячейку E3 формулу

=LN(B3) и скопируем ее в ячейки E4:E17. Аналогично вычисляем значения ln Ki в ячейках F3:F17 и значения ln Li в ячейках G3:G17.

Коэффициенты линейной регрессии (2.4.8 ОК) рассчитаем с помощью инструмента анализа данных Регрессия. Для этого выполним команды СервисАнализ данных-Регрессия-OK. Введем необходимые параметры в диалоговое окно Регрессия:

OK

По результатам вычислений (см. ячейки B36:B38 табл. 3.6) составим

123

Таблица 3.6

124 2. Индекс множественной корреляции рассчитаем по формуле (2.4.1) ОК.

Подставляя в найденное уравнение регрессии фактические значения x ,

ˆ

определим расчетные значения Y и необходимые суммы. Для этого введем формулы в следующие ячейки:

H3 =1,3705*C3^0,7681*D3^0,3868 и копируем в H4:H17;

I3 =(B3-H3)^2 и копируем в I4:I17;

B18 =СРЗНАЧ(B3:B17);

J3 = (B3-B18)^2 и копируем в J4:J17; I18 =CУММ(I3:I17);

J18 =СУММ(J3:J17);

B20 =КОРЕНЬ(1-I18/J18).

Полученное значение индекса множественной корреляции R=0,9821 достаточно близко к 1 и свидетельствует о тесной связи Y c K и L.

3. Множественный коэффициент детерминации вычислим в ячейке B21 по формуле =B20^2. Значение R2=0,9646 означает, что включенные в регрессию факторы объясняют 96,5 % вариации Y.

Проверим значимость модели регрессии. Фактическое значение F- критерия вычислим по формуле (2.2.5) ОК в ячейке B22: =B21/(1-B21)*(A1-2- 1)/2. Критическое значение F-критерия для уровня значимости 0,05 при m = 2 и n − m −1 =15 − 2 −1 =12 степенях свободы определим в ячейке B23: =FРАСПОБР(0,05;2; А1-2-1).

Поскольку Fнабл =163,5 > Fкр = 3,9 , то можно сделать вывод о том, что

модель регрессии значима.

4. Рассчитаем среднюю ошибку аппроксимации по формуле (2.4.2) ОК. Введем формулы в следующие ячейки:

K3 = (B3-H3)/B3 и копируем в K4:K17; K18 =CУММ(K3:K17);

B24 =K18/A1.

125

Для нашего примера A = 0,03306 (3 %), что свидетельствует о

незначительной погрешности модели.

Заметим, что значения показателей качества модели, рассчитанные по формулам, отличаются от значений, полученных с помощью инструмента анализа данных. Расхождение объясняется тем, что в основе показателей лежит величина остатка ei = yi − yˆi . Именно это выражение мы использовали в расчетах показателей с помощью формул. Инструмент анализа был применен к линеаризованному уравнению, т. е. остатки вычислялись по формуле ei = ln yi − ln yˆi .

Литература: [1], с. 124-128.

Практическая работа 3

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ АНАЛИЗ 1. Цель работы

Выработка практических навыков проведения корреляционного анализа.

2. Порядок выполнения практической работы

Задание 1. Для выборочных данных по 20 коммерческим банкам, приведенных в табл. 3.7, исследовать зависимость показателя прибыли банка

( y , млн д. е.) от размера собственного капитала ( x1, млн д. е.), объема чистых активов ( x2 , млн д. е.), а также объема вложений в ценные бумаги ( x3, млн д.

е.):

1)рассчитать парные коэффициенты корреляции, оценить их значимость на уровне α = 0,05 и пояснить их экономический смысл;

2)рассчитать частные коэффициенты корреляции и с их помощью оценить целесообразность включения факторов в уравнение регрессии;

3)найти коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент корреляции и охарактеризовать степень совместного влияния факторов на результативный признак.

126

4) используя пошаговую процедуру отбора факторов, построить подходящую регрессионную модель показателя прибыли банка, исключив при этом мультиколлинеарность.

Задание 2. В табл. 3.8 приведены данные по 15 торговым предприятиям о зависимости величины валового дохода ( y , млн руб.) от стоимости основных

фондов ( x1, млн руб.), стоимости оборотных средств ( x2 , млн руб.), а также величины торговых площадей ( x3, тыс. м2). Требуется:

1)рассчитать парные коэффициенты корреляции, оценить их значимость на уровне α = 0,05 и пояснить их экономический смысл;

2)рассчитать частные коэффициенты корреляции и с их помощью оценить целесообразность включения факторов в уравнение регрессии;

127

3)найти коэффициент множественной корреляции, множественный коэффициент детерминации, скорректированный коэффициент корреляции и охарактеризовать степень совместного влияния факторов на результативный признак;

4)используя пошаговую процедуру отбора факторов, построить подходящую регрессионную модель показателя прибыли банка, исключив при этом мультиколлинеарность.

Данные для анализа из табл. 3.8 следует выбрать в соответствии с последней цифрой шифра k, а объем выборки n – в соответствии с указаниями преподавателя.

128

Выполнение задания 1. Задание выполним с использованием пакета MS Excel.

1. Матрицу парных коэффициентов корреляции переменных можно рассчитать с использованием пакета анализа. Для этого необходимо выполнить следующие действия:

•создать электронную таблицу с исходными данными (см. ячейки A1:E22

табл. 3.9);

•выполнить команду Сервис-Анализ данных-Корреляция-ОК;

•заполнить открывшееся диалоговое окно:

OK.

Результаты вычислений – матрица парных коэффициентов корреляции – представлены в табл. 3.9 (ячейки F2:J6).

Проверим значимость полученных парных коэффициентов корреляции с помощью t-критерия Стьюдента. Для этого рассчитаем наблюдаемые значения t-статистики по формуле (4.2.2) в ячейках G8:G13. Объем выборки, равный 20, укажем в ячейке I7. Введем формулу в ячейку G8: =G4*SQRT(($I$7-2)/(1- G4*G4)) и скопируем ее в ячейки G9:G10. Введем в G11: = H5*SQRT(($I$7- 2)/(1-H5*H5)) и скопируем в G12. Введем в G13: = I6*SQRT(($I$7-2)/(1-I6*I6)). tкр найдем в ячейке G15: =СТЬЮДРАСПОБР(0,05; 20-2).

Коэффициенты, для которых значения t-статистики по модулю больше найденного критического значения, считаются значимыми. В нашем примере

между y и x2 , а также между y и x3 является существенной.

129

Таблица 3.9

130

Можно сделать вывод, что размер получаемой банком прибыли практически не зависит от величины собственного капитала банка, но зависит от величины чистых активов и объема вложений в ценные бумаги. При этом связь между указанными показателями прямая (положительная): увеличение обоих факторов приводит к росту зависимой величины – прибыли.

Большое значение для исследования имеют также коэффициенты, рассчитанные между факторными признаками. В нашем случае rx1x2 = 0,43,

= 0,17, rx2x3 = 0,42 , т. е. их величины незначимы (несущественны), а

значит, можно надеяться, что полученное в дальнейшем уравнение регрессии будет адекватно отражать взаимосвязь признаков. Большие значения парных коэффициентов корреляции ( r > 0,7 ) говорят о мультиколлинеарности факторов и о необходимости исключения одного из них из дальнейшего анализа.

2. Наибольшее влияние на результативный признак оказывает фактор x2

= 0,730 ), значит, при построении модели он войдет в регрессионное уравнение первым. Рассчитаем частные коэффициенты корреляции, чтобы посмотреть, как данный факт повлияет на взаимосвязь y с другими факторами.

для ryx3 x2 в I17: =G17*КОРЕНЬ(($I$7-3)/(1-G17^2));

tкр – в I18: =СТЬЮДРАСПОБР(0,05;I17-3).

131

Как видим (см. табл. 3.9), связь y и x1 при условии, что x2 войдет в модель,

значительно снизилась (связи практически нет). Отсюда можно сделать вывод, что ввод в регрессионное уравнение x1 остается нецелесообразным, его влияние на зависимую переменную не подтвердилось.

Изменилась ситуация с фактором x3 : введение в модель x2 сделало связь с

у несущественной (tнабл =1,407 <tкр = 2,110 ). Поэтому становится возможным

исключение его из числа факторов, входящих в регрессионное уравнение.

критическое значение в G22: =FРАСПОБР(0,05;2;I7-3).

Скорректированное значение коэффициента детерминации равно 0,533. Следовательно, размер получаемой банком прибыли на 53,3 % определяется величиной его чистых активов и объемом вложений в ценные бумаги, тогда на долю неучтенных факторов приходится 46,7 % всей вариации результативного признака.

4. Выше на основе анализа матрицы корреляции и значений частных коэффициентов корреляции был сделан вывод о том, что мультиколлинеарность факторов отсутствует и в модель в первую очередь

132

должен быть включен фактор x2 . Построим регрессионную модель показателя прибыли банка с помощью инструмента Регрессия, включив в качестве факторной только переменную x2 . Описание работы с инструментом анализа данных Регрессия можно найти в практической работе 1. Результаты

больше табличного (Fтабл=3,59). Построенная модель, как видим, также является приемлемой. Однако увеличение коэффициента детерминации на величину 0,05 (или уменьшение значения остаточной дисперсии на 5 %) нельзя считать существенным улучшением качества модели.