88

Раздел 4. Временные ряды

Вразделе рассматриваются четыре темы:

1.Основные элементы и структура временного ряда.

2.Стационарные временные ряды и их характеристики.

3.Моделирование тенденции временного ряда.

4.Динамические эконометрические модели.

После изучения данного раздела необходимо ответить на вопросы теста № 4. Более подробная информация по данной теме содержится в учебнике [1].

4.1.Основные элементы и структура временного ряда

Временным рядом (динамическим рядом, или рядом динамики) называется последовательность значений какого-либо признака за несколько последовательных моментов или периодов времени. Отдельные наблюдения называются уровнями ряда, обозначают уровни yt (t =1,2,K,n), где n – число уровней.

Если уровень временного ряда фиксирует значение изучаемого показателя на определенный момент времени, то такой ряд называется моментным. Если уровень временного ряда характеризует значение показателя за определенный период времени, то такой ряд является интервальным. Если уровни ряда представлены в виде производных величин (средних или относительных показателей), то такие ряды называются производными.

Примерами временных рядов могут быть ежедневные курсы валют, финансовые индексы, котировки акций, квартальные объемы производства и т. д., т. е. переменные, значения которых изменяются во времени.

В модели временного ряда принято выделять две основные составляющие: детерминированную (систематическую) и случайную.

Под детерминированной составляющей временного ряда понимают числовую последовательность, элементы которой вычисляются по определенному правилу как функция времени t . Исключив

89

детерминированную составляющую из данных, мы получим колеблющийся вокруг нуля ряд.

Детерминированная составляющая может содержать следующие структурные компоненты.

1.Тренд, или тенденция, ft – плавно меняющаяся с течением времени составляющая, описывающая влияние долговременных факторов.

2.Сезонная компонента st связана с наличием факторов,

действующих с заранее известной периодичностью. Под “сезоном” можно понимать и день, и неделю, и месяц, и квартал.

3.Циклическая компонента ct отражает повторяемость

экономических процессов в течение длительных периодов. Случайная составляющая ut отражает воздействие многочисленных

факторов случайного характера.

Составляющие временного ряда не являются наблюдаемыми величинами – это теоретическое разложение его уровней.

В зависимости от вида связи между этими компонентами может быть

осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда сезонных колебаний приближенно постоянная, используют аддитивную модель. Если амплитуда возрастает или уменьшается, используют мультипликативную модель.

Временные ряды имеют характерные отличия от пространственных выборок.

Во-первых, в отличие от пространственных данных уровни временного ряда, как правило, не являются статистически независимыми.

Во-вторых, члены временного ряда не являются одинаково распределенными.

90

Основная задача анализа временных рядов состоит в выделении каждой из перечисленных компонент ряда, а также в оценке их характеристик. Это и есть задача идентификации модели временного ряда. Выявленные закономерности используются затем для прогнозирования значений ряда в будущем, а учет случайности позволяет определить вероятность и возможную величину отклонения от закономерного развития.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.На какие компоненты в общем случае можно разложить уровни временного ряда?

2.Что называется тенденцией временного ряда?

3.Что такое аддитивная модель временного ряда?

4.В чем состоят характерные отличия временных рядов от пространственных выборок?

4.2.Стационарные временные ряды и их характеристики

Стационарные временные ряды используются для описания случайной составляющей временного ряда, полученной после выделения из ряда его детерминированной компоненты.

Временной ряд yt (t =1,2,K,n) называется строго стационарным, если совместное распределение вероятностей n наблюдений y1, y2 ,K, yn такое же, как и n наблюдений y1+τ , y2+τ ,K, yn+τ при любых n, t и τ , т. е. закон распределения и числовые характеристики строго стационарного ряда не зависят от момента времени. Стационарным называют временной ряд, для которого математическое ожидание, дисперсия и ковариация не зависят от момента времени:

M (yt )= M (yt +τ )= a ,

cov(yt yt +τ )= M [(yt − a)(yt +τ − a)].

91

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Дайте определение стационарного временного ряда.

2.Назовите основные характеристики стационарного временного ряда.

3.Что такое автокорреляция уровней временного ряда и как ее можно оценить количественно?

4.3.Моделирование тенденции временного ряда

Для выявления трендовой составляющей временного ряда и построения ее модели необходимо выполнить предварительную обработку ряда путем его сглаживания и выравнивания. Наиболее распространенными методами сглаживания являются метод укрупнения интервалов и метод скользящей средней.

Метод укрупнения интервалов заключается в преобразовании первоначального ряда в ряды с укрупненными временными интервалами. Так, например, ряд с месячными данными преобразуется в ряд с квартальными данными, квартальные – в годовые и т. д. Укрупнение интервалов допустимо лишь для интервальных рядов.

В основу скользящей средней положено определение по исходным данным теоретических уровней, в которых случайные колебания погашаются.

Сглаживание можно проводить по любому числу уровней. Например, при сглаживании по трем соседним уровням теоретический уровень рассчитывается по формуле

yi = yi −1 + yi + yi +1 , i = 2,3,K,n −1. 3

Применение в анализе временных рядов методов укрупнения интервалов и скользящей средней позволяет лишь выявить тренд. Способ, позволяющий построить аналитическую функцию (тренда), характеризующую зависимость уровней ряда от времени, называется аналитическим выравниванием временного ряда.

92

Для построения трендов чаще всего используются следующие функции:

Первое представление о возможном характере тренда дает графическое представление временного ряда. При выборе вида функции тренда можно воспользоваться методом конечных разностей, при условии равенства интервалов между уровнями ряда. В соответствии с методом вычисляют

разности третьего порядка.

Параметры каждого из перечисленных трендов можно определить обычным методом наименьших квадратов. Значения временного ряда рассматриваются как зависимая переменная, а время t – в качестве независимой:

yt = f (t)+ ut ,

где ut – случайная составляющая, удовлетворяющая основным предпосылкам регрессионного анализа.

Для нелинейных трендов предварительно проводят процедуру их линеаризации.

Выбор наилучшего уравнения в случае, если ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда и

93

выбора уравнения тренда с максимальным значением скорректированного коэффициента детерминации.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Перечислите основные виды трендов.

2.В чем суть метода конечных разностей при выборе вида функции тренда?

4.4.Динамические эконометрические модели

Кдинамическим эконометрическим моделям (ДЭМ) относят модели, которые в данный момент времени учитывают значения входящих в нее переменных, относящихся к текущему и к предыдущему моментам времени.

Выделяют 2 типа динамических моделей:

1.Модели с распределенными лагами – это модели, содержащие в качестве лаговых переменных лишь независимые переменные. Примером является модель

2. Авторегрессионные модели – это модели, в которых в качестве факторных переменных содержатся лаговые значения результативной переменной, например:

В лаговых моделях параметр a0 называется краткосрочным мультипликатором, так как он характеризует изменение среднего значения y под воздействием единичного изменения переменной x в тот же самый момент

k

времени. Сумму всех коэффициентов ∑ai называют долгосрочным

i =0

мультипликатором, так как она характеризует изменение y под воздействием единичного изменения переменной x в каждом из рассматриваемых временных периодов.