95

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.В чем состоит различие между моделями с распределенными лагами и авторегрессионными моделями?

2.В чем суть метода инструментальных переменных?

Раздел 5. Системы одновременных уравнений

Вразделе рассматриваются три темы:

1.Основные понятия.

2.Косвенный МНК.

3.Двухшаговый и трехшаговый МНК.

Более подробная информация по данной теме содержится в учебнике [1].

5.1. Основные понятия

Изучаемые вопросы:

структурная и приведенная формы уравнений;

проблема идентификации.

После проработки теоретического материала следует ответить на вопросы для самопроверки, приведенные в конце темы.

Структурная и приведенная формы уравнений

Для описания сложных экономических процессов используются не отдельные уравнения, а системы уравнений. Системы могут включать как тождества, так и регрессионные уравнения. Кроме того, в одних уравнениях системы определенная переменная может рассматриваться как объясняющая (независимая), а в другое уравнение она может входить как зависимая переменная. Непосредственное использование МНК для оценки параметров уравнений таких систем приводит к результатам с плохими статистическими свойствами.

96

Структурной формой модели (системой одновременных уравнений) называется система взаимосвязанных уравнений, в каждом из которых помимо объясняющих переменных могут содержаться объясняемые переменные из других уравнений.

Уравнения, составляющие модель, называются структурными уравнениями модели.

Простейшая структурная форма модели имеет вид

Параметры структурной формы модели называются структурными коэффициентами.

При рассмотрении систем одновременных уравнений следует различать эндогенные и экзогенные переменные. Эндогенными считаются переменные, значения которых определяются внутри модели. Это зависимые переменные, число которых равно числу уравнений системы. Экзогенными считаются переменные, значения которых определяются вне модели. Это заданные переменные, влияющие на эндогенные переменные, но не зависящие от них.

С математической точки зрения главное отличие между экзогенными и эндогенными переменными заключается в том, что экзогенные переменные не коррелируют с ошибками регрессии, в то время как эндогенные, как правило, коррелируют.

Если система уравнений содержит лаговые переменные (значения, полученные в предыдущие периоды времени), то выделяют множество предопределенных переменных модели одновременных уравнений, в которое входят лаговые и текущие экзогенные переменные, а также лаговые эндогенные переменные.

Структурная форма модели обычно включает в систему не только уравнения, отражающие взаимосвязи между отдельными переменными, но и уравнения-тождества. Тождества не содержат каких-либо подлежащих оценке параметров, а также не включают случайный член.

97

Поскольку в общем случае эндогенные переменные коррелированы со случайным членом и каждое уравнение системы не может рассматриваться как самостоятельное, то применение МНК к структурной форме модели для нахождения его параметров невозможно или приводит к смещенным и несостоятельным оценкам структурных коэффициентов.

Для определения структурных коэффициентов структурная форма модели преобразуется в приведенную форму. Приведенной формой модели называется система уравнений, в каждом из которых эндогенные переменные выражены только через экзогенные переменные и случайные составляющие.

Например, приведенная форма модели (5.1.1) имеет вид

y1 = c1 + c11x1 + c12 x2 + w1;y2 = c2 + c21x1 + c22 x2 + w2.

Параметры приведенной формы модели называются коэффициентами приведенной формы. Коэффициенты приведенной формы оцениваются обычным МНК. Приведенная форма строится для того, чтобы по МНК-оценкам ее параметров определить оценки структурных коэффициентов.

Рассмотрим пример преобразования структурной формы модели в приведенную.

Пример 5.1.1

Модель Кейнса формирования доходов в случае закрытой экономики без

случайный член. Записать приведенную форму модели.

Решение. В данной модели C и Y являются эндогенными переменными, которые оцениваются внутри модели. Переменная I задается вне модели, следовательно, она является экзогенной переменной. Запишем систему, обозначив эндогенные и экзогенные переменные через y и x соответственно.

98

y1 = a0 + a1 y2 +u,

y2 = y1 + x.

Перейдем к приведенной форме модели. Подставим значение переменной y2 из второго уравнения в первое:

y1 = a0 + a1(y1 + x)+u .

Отсюда

y1(1− a1 )= a0 + a1x +u .

Тогда приведенные уравнения:

В левой части уравнений – только эндогенные переменные, в правой части – только экзогенная переменная и случайные отклонения.

Проблема идентификации

Под проблемой идентификации понимают возможность численной оценки параметров структурных уравнений по оценкам коэффициентов приведенных уравнений. Тот или иной структурный коэффициент может либо однозначно выражаться через приведенные коэффициенты, либо иметь несколько разных оценок, либо совсем не выражаться через них.

Структурный коэффициент называется идентифицируемым, если его можно вычислить на основе приведенных коэффициентов, причем точно идентифицируемым, если он единственный, и сверхидентифицируемым, если он имеет несколько разных оценок; в противном случае он называется

неидентифицируемым.

Какое-либо структурное уравнение является идентифицируемым, если идентифицируемы все его коэффициенты. Если хотя бы один структурный коэффициент неидентифицируем, то и все уравнение является неидентифицируемым.

99

Модель считается идентифицируемой, если каждое ее уравнение идентифицируемо. Если хотя бы одно из уравнений системы неидентифицируемо, то и вся модель неидентифицируема. Отсутствие идентифицируемости означает, что существует бесконечно много моделей, совместимых с имеющимися наблюдениями, и это никак не связано с количеством наблюдений.

Для определения идентифицируемости структурных уравнений применяются следующие необходимые и достаточные условия.

Необходимое условие идентификации уравнения модели

Чтобы уравнение в структурной модели было идентифицируемо, необходимо, чтобы число предопределенных переменных, не включенных в уравнение, было не меньше числа включенных в него объясняющих эндогенных переменных без одного.

Пусть D – число предопределенных переменных, отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе уравнений, а H – число включенных в уравнение эндогенных переменных, тогда условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

D+1=H - уравнение идентифицируемо;

D+1<H - уравнение неидентифицируемо;

D+1>H - уравнение сверхидентифицируемо.

Достаточное условие идентификации уравнения модели

Для того чтобы уравнение было идентифицируемым, достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в данное уравнение (A – матрицы), был равен m-1, где m – число эндогенных переменных в системе. (Ранг матрицы – размер наибольшей ее квадратной подматрицы, определитель которой не равен нулю.)

Выполнение условий идентифицируемости модели проверяется для каждого уравнения системы.

Приведем примеры использования данных условий для определения идентифицируемости структурных уравнений.

101

Проверим выполнение достаточного условия идентификации. Так как m-1=1, то достаточно, чтобы хотя бы один из коэффициентов матрицы A был не равен нулю.

В первом уравнении отсутствует только переменная It. Матрица A=(b2). Определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, ранг равен m-1=1 и уравнение идентифицируемо.

Во втором уравнении отсутствует только переменная Pt-1. Матрица A=(a2). Определитель данной матрицы не равен нулю, следовательно, ранг равен m-1=1 и уравнение идентифицируемо.

Таким образом, оба уравнения системы точно идентифицированы. Следовательно, система в целом является точно идентифицируемой.

4. Введем новую предопределенную переменную Rt – благосостояние потребителей в уравнение спроса:

В этой модели первое уравнение сверхидентифицировано (H=2, D=2, D+1>H), а второе – точно идентифицировано (H=2, D=1, D+1=H), при этом выполняется достаточное условие идентификации.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Какие переменные системы уравнений называются экзогенными, эндогенными и предопределенными?

2.Какая система уравнений называется структурной формой модели?

3.Какая система уравнений называется приведенной формой модели?

4.В чем заключается проблема идентификации системы одновременных уравнений?

5.Какая модель называется идентифицируемой?

6.Сформулируйте необходимое условие идентифицируемости модели.

7.Сформулируйте достаточное условие идентифицируемости модели.

102

5.2. Косвенный метод наименьших квадратов

Косвенным методом наименьших квадратов (КМНК) называют способ оценивания коэффициентов структурной модели с использованием оцененных коэффициентов приведенной формы модели. КМНК применяется только в случае точно идентифицируемой структурной модели. Оценки, полученные по КМНК, являются состоятельными, а следовательно, при больших выборках велика вероятность, что они будут близки к истинным значениям параметров.

КМНК включает следующие этапы:

1.По структурной форме модели строится приведенная форма.

2.Параметры уравнений в приведенной форме оцениваются по МНК.

3.На основе оценок, найденных на 2-м этапе, оцениваются параметры структурных уравнений.

Пример 5.2.1

Пусть структурная форма модели спроса и предложения имеет вид

параметры модели, используя для этого МНК и КМНК. Сравнить результаты.

103

Решение. Оба уравнения точно идентифицируемы (см. пример 5.1.2), поэтому для оценки структурных параметров можно применить КМНК.

Используя выборочные данные 2, 4 и 5 столбцов табл. 5.2.1, найдем МНКоценки первого уравнения системы (5.2.2): A1=2,99; A2=2,88; A3=5,90.

По выборочным данным 3, 4 и 5 столбцов табл. 5.2.1 найдем оценки параметров второго уравнения системы (5.2.2): B1=12,05; B2=0,52; B3=-1,11.

Оцененная приведенная форма модели имеет вид:

Qt = 2,99 + 2,88 It + 5,90 Pt−1 .

Pt =12,05 + 0,52 It −1,11 Pt−1 .

Чтобы получить 1-е уравнение структурной формы модели (зависимость Qt от Pt и Pt-1), выразим из 2-го уравнения приведенной формы It:

Подставим полученное выражение в 1-е уравнение приведенной формы. Сравнивая полученное уравнение с 1-м уравнением системы (5.2.1), получим следующие значения оценок структурных параметров:

Аналогично можно определить параметры 2-го структурного уравнения (зависимость Qt от Pt и It). Для этого выразим из 2-го уравнения приведенной формы Pt-1:

Pt−1 = − B1 + 1 Pt − B2 It B3 B3 B3

и подставим полученное выражение в 1-е уравнение приведенной формы. Сравнивая полученное уравнение со 2-м уравнением системы (5.2.1),

получим следующие значения оценок структурных параметров:

Таким образом, построена следующая структурная форма модели:

Qt = −64,27 + 5,58Pt +12,08Pt−1 ,

Qt = 67,11 −5,32Pt + 5,63It .

Для сравнения, обычный МНК дает следующие результаты:

Qt =18,89 −1,30Pt + 9,09Pt−1 ,

Qt = 78,46 − 7,23Pt + 6,08It .

Это смещенные оценки структурных параметров модели. ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Для каких систем одновременных уравнений применяют косвенный метод наименьших квадратов?

2.Назовите основные этапы КМНК.

5.3. Двухшаговый и трехшаговый методы наименьших квадратов

Если система одновременных уравнений сверхидентифицируема, то КМНК не используется, так как он не дает однозначных оценок для параметров структурной модели. В этом случае могут использоваться разные методы оценивания, среди которых наиболее распространенным и простым является двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Алгоритм двухшагового метода наименьших квадратов реализуется в четыре этапа.

1.На основе структурной формы системы одновременных уравнений составляется ее приведенная форма.

2.Неизвестные коэффициенты каждого уравнения приведенной формы системы одновременных уравнений оцениваются традиционным методом наименьших квадратов.

105

3.Рассчитываются значения тех эндогенных переменных, которые выступают в качестве факторных переменных в сверхидентифицированном уравнении.

4.С помощью традиционного метода наименьших квадратов определяются все структурные коэффициенты уравнений системы через предопределенные переменные, входящие в это уравнение в качестве факторов, и значения эндогенных переменных, полученных на предыдущем шаге.

Метод получил название двухшагового МНК потому, что МНК используется дважды: на первом шаге при определении приведенной формы модели и на четвертом шаге применительно к структурному сверхидентифицируемому уравнению при определении структурных коэффициентов модели по данным расчетных значений эндогенных переменных.

Если все уравнения системы сверхидентифицируемые, то для оценки структурных коэффициентов каждого уравнения используется ДМНК. Если в системе есть точно идентифицируемые уравнения, то структурные коэффициенты по ним находятся из системы приведенных уравнений.

Трехшаговый метод наименьших квадратов применяется тогда, когда нарушено условие гомоскедастичности или когда случайные составляющие коррелированы. Алгоритм трехшагового метода наименьших квадратов

(ТМНК) в качестве первых двух шагов включает этапы двухшагового метода, т. е. для оценки коэффициентов каждого уравнения структурной формы попрежнему применяется двухшаговый МНК. Оценки, полученные после ДМНК для каждого отдельного структурного уравнения, не являются окончательными, а используются на третьем шаге для оценки структурных коэффициентов всей системы одновременно.

Таким образом, процедура оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей состоит из трех последовательных этапов, определяющих содержание ТМНК.

106

Шаг 1. На данном этапе с использованием обычного МНК на основании приведенной формы определяются расчетные значения переменных yˆi ,

рассматриваемых в качестве независимых эндогенных переменных в каждом из уравнений системы.

Шаг 2. Как и в ДМНК, на этом этапе с использованием значений yˆi

определяются оценки коэффициентов структурной формы каждого из уравнений системы.

Шаг 3. С помощью обобщенного МНК определяются ”окончательные” оценки коэффициентов структурной формы всей системы взаимозависимых эконометрических моделей, которые теоретически при наличии корреляции между ошибками различных уравнений являются “более эффективными” по сравнению с аналогичными оценками ДМНК.

Если ошибки системы не коррелируют между собой, то ТМНК не имеет преимуществ перед двухшаговым. При применении ТМНК необходимо соблюдать некоторые дополнительные правила, что делает его процедуру менее универсальной по сравнению с двухшаговой. Они состоят в следующем.

1.Процедура выполняется только для идентифицируемых и сверхидентифицируемых уравнений системы. Тождества и неидентифицируемые уравнения в ней не участвуют.

2.Процедуру желательно выполнять для групп идентифицируемых и неидентифицируемых уравнений раздельно. При этом если в соответствующую группу входит только одно сверхидентифицируемое уравнение, то трехшаговая процедура для него превращается в двухшаговую.

Практическое применение трехшагового метода ограничено из-за большого количества расчетов и чрезвычайной чувствительности результатов к ошибкам спецификации.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ

1.Для каких систем одновременных уравнений применяют двухшаговый метод наименьших квадратов?

2.Назовите основные этапы ДМНК.