- •Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
- •Санкт-Петербург
- •Информация о дисциплине
- •1.1. Предисловие
- •Содержание дисциплины и виды учебной работы
- •Объем дисциплины и виды учебной работы
- •Перечень видов практических занятий и контроля:
- •2. Рабочие учебные материалы
- •2.1. Рабочая программа (объем 150 часов) Введение
- •Раздел 1. Случайные события (50 часов)
- •Тематический план дисциплины для студентов очно-заочной формы обучения
- •Тематический план дисциплины для студентов заочной формы обучения
- •2.3. Структурно-логическая схема дисциплины
- •Математика ч.2. Теория вероятностей и элементы математической статистики Теория
- •Раздел 1 Случайные события
- •Раздел 3 Элементы математической статистики
- •Раздел 2 Случайные величины
- •2.5. Практический блок
- •2.6. Балльно-рейтинговая система
- •Информационные ресурсы дисциплины
- •Библиографический список Основной:
- •3.2. Опорный конспект по курсу “ Математика.Часть 2 Теория вероятностей и элементы математической статистики” введение
- •Раздел 1. Случайные события
- •1.1. Понятие случайного события
- •1.1.1. Сведения из теории множеств
- •1.1.2. Пространство элементарных событий
- •1.1.3. Классификация событий
- •1.1.4. Сумма и произведение событий
- •1.2. Вероятности случайных событий
- •1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
- •1.2.2. Геометрическое определение вероятности
- •Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
- •1.2.4. Свойства вероятностей событий
- •1.2.5. Независимые события
- •1.2.6. Расчет вероятности безотказной работы прибора
- •Формулы для вычисления вероятности событий
- •1.3.1. Последовательность независимых испытаний (схема Бернулли)
- •1.3.2. Условная вероятность события
- •1.3.4. Формула полной вероятности и формула Байеса
- •Раздел 2. Случайные величины
- •2.1. Описание случайных величин
- •2.1.1. Определение и способы задания случайной величины Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:
- •Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами ,,, а их возможные значения – латинскими буквами с индексамиxi,yi,zi.
- •Рассмотрим события Ai , содержащие все элементарные события , приводящие к значению XI:
- •Пусть pi обозначает вероятность события Ai :
- •2.1.3. Непрерывные случайные величины
- •2.1.4. Функция распределения и ее свойства
- •2.1.5. Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •2.2. Числовые характеристики случайных величин
- •2.2.1. Математическое ожидание случайной величины
- •2.2.2. Дисперсия случайной величины
- •2.2.3. Нормальное распределение случайной величины
- •2.2.4. Биномиальное распределение
- •2.2.5. Распределение Пуассона
- •Раздел 3. Элементы математической статистики
- •Гистограмма
- •3.3. Точечные оценки параметров распределения
- •Основные понятия
- •Точечные оценки математического ожидания и дисперсии
- •3.4. Интервальные оценки
- •Понятие интервальной оценки
- •Построение интервальных оценок
- •Основные статистические распределения
- •Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения
- •Интервальная оценка дисперсии нормального распределения
- •Заключение
- •Глоссарий
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных работ
- •Библиографический список
- •Лабораторная работа 1 описание случайных величин числовые характеристики
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Лабораторная работа 2 Основные определения. Систематизация выборки. Точечные оценки параметров распределения. Интервальные оценки
- •Понятие статистической гипотезы о виде распределения
- •Порядок выполнения лабораторной работы
- •Ячейка Значение Ячейка Значение
- •5. Методические указания к выполнению контрольной работы Задание на контрольную работу
- •Пояснения к выполнению контрольной работы События и их вероятности
- •Случайные величины
- •Среднее квадратическое отклонение
- •Элементы математической статистики
- •6. Блок контроля освоения дисциплины
- •Вопросы для экзамена по курсу « Математика.Часть 2. Теория вероятностей и элементы математической статистики»
- •Продолжение таблицы в
- •Окончание таблицы в
- •Равномерно распределенные случайные числа
- •Содержание
- •Раздел 1. Случайные события………………………………………. 18
- •Раздел 2 . Случайные величины ..………………………… ….. 41
- •Раздел 3. Элементы математической статистики ............... . 64
- •4. Методические указания к выполнению лабораторных
- •5. Методические указания к выполнению контрольной
1.2.2. Геометрическое определение вероятности
Если пространство элементарных событий содержит бесконечное число элементарных событий, то классическое определение вероятности неприменимо. В тех случаях, когда пространство элементарных событий может быть представлено некоторой областью на прямой, плоскости или в пространстве, то, учитывая равную возможность исходов эксперимента, можно построить геометрическое определение вероятности события. Допустим, что пространство элементарных событий можно геометрически представить на плоскости некоторой областью , а любое событие A – подмножеством этой области . Обозначим S() меру области , S(A) – мера области A. Тогда вероятность события A можно определить как отношение соответствующей меры S(A) к мере всей области :
p(A) = . (1.2)
В этом случае выполняются все аксиомы теории вероятности. Следует заметить, что событиями в этом примере считаются множества, для которых может быть определена их площадь.
Пример 1.9. Производится один выстрел по круглой мишени радиуса R. Предполагается, что каждая точка мишени может быть поражена с одинаковой вероятностью. Найти вероятность того, что расстояние от точки попадания до центра мишени меньше r (r<R).
Решение. Обозначим событие A ={точка попадания лежит в заданном круге радиуса r}.Тогда вероятность этого события по формуле (1.2) будет равна
p(A) = .
Вычисление вероятности события через элементы комбинаторного анализа
Использование методов комбинаторного анализа широко описано в учебном пособии по теории вероятностей. В данной работе рассмотрим гипергеометрический способ вычисления вероятности события.
Пример 1.10. В урне имеется N шаров, из них M белых и N-M черных. Наудачу из урны извлекают n шаров. Найти вероятность того, что среди них будет ровно m белых шаров.
Решение. Обозначим искомое событие A: A= {выбрано ровно m белых шаров}. Из генеральной совокупности N шаров выбирают без учета порядка следования n шаров. Следовательно, число различных выборок будет равно числу сочетаний из N по n -- . Теперь найдем число выборок объемаn, в которых ровно m белых шаров. Для этого будем выбирать из всех M белых шаров ровно m шаров. Всего число таких различных выборок объема m будет равно числу сочетаний из M по m - . Аналогично, число различных выборок из всех черных шаров поn-m шаров, будет равно числу сочетаний из N-M по (n – m), т.е. . Объединяя каждую выборку изm белых шаров с каждой выборкой из (n – m) черных шаров, получаем искомое число выборок объема n, в которых будет ровно m белых, - . Из классического определения вероятности следует, что
Р(A)= ,
где Сrk - число сочетаний из r по k, вычисляемое по формуле
, k! = и 0! = 1.
Пример 1.11. Среди десяти изделий находится три бракованных. Выбирают наугад четыре изделия. Определить вероятности следующих событий:
A = {среди выбранных изделий нет бракованных };
B = {из выбранных изделий ровно два бракованных}.
Решение. Определим общее число способов выбора четырех деталей из десяти.
.
Число выборок, благоприятствующих событию A, будет равно
.
Тогда вероятность события A будет равна
p(A)= .
Для вычисления вероятности события В применим гипергеометрическое определение. Будем считать изделия шарами, бракованные изделия - белыми шарами, а небракованные изделия - черными шарами. Тогда найти вероятность события B означает найти вероятность того, что среди 4 наугад выбранных шаров будет два белых:
p(B)= =.