1.2. Вероятности случайных событий
1.2.1. Относительная частота события, аксиомы теории вероятностей. Классическое определение вероятности
Заметим, что всякое событие есть некоторое высказывание о результатах рассматриваемого эксперимента. При многократном проведении опыта с соблюдением некоторого комплекса условий Sвозможны различные исходы:
1) в каждом из опытов можно наблюдать один и тот же результат;
ни в одном из опытов интересующий результат не появился;
3) в ряде опытов интересующий результат можно было наблюдать, а в оставшихся опытах этого не происходило.
В первом случае говорят, что происходит достоверноесобытие.
Во втором случае речь идет о невозможном событии.
В третьем случае говорят, что происходит случайное событие.
Однако случайность события по отношению к комплексу условий S не означает отсутствия всякой закономерной связи между ними.
Будем обозначать случайные события большими латинскими буквами: A,B, C, D, Fи т. д.
Допустим, что производится серия из n одинаковых опытов. В каждом из
опытов интересующее событие, назовем его А, может произойти или не произойти. В результате наблюдений за опытами замечено, что событиеА появилось m раз, обозначим какm(А).
Определение.Частотой событияА(относительной
частотой) называется величина, равная
отношению числа опытов, в которых событиеАпроизошло, ко всем проводимым
опытамn, т.е.
.
Экспериментально
установлено, что для многих опытов, в
которых рассматривается появление
случайного события А, имеет местозакон устойчивости относительных
частот:если при
неограниченном увеличении числа опытовn относительная
частота событияA
колеблется около некоторого числаp(A),то числоp(A)называютвероятностьюсобытияA,
а само это свойство называют законом
устойчивости относительных частот.
Из определения видно, что частота имеет свойства:
1) n ()=1;
2) n (Ø)=0;
3) 0 =< n (A) <= 1;
4) n (A+B)= n (A)+n (B) , если события несовместны, т.е. такие, которые не могут происходить вместе.
Из закона устойчивости относительных частот следует, что вероятность события является в некотором смысле пределом относительной частоты этого события. Поэтому свойства относительной частоты событий можно перенести
в качестве аксиом на вероятность этих событий.
1) p () =1 - вероятность достоверного события равна 1;
2) p (Ø) = 0 - вероятность невозможного события равна 0;
3) 0 =< p(A) = < 1 - это означает, что вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1.
4) аксиома конечной аддитивности: если события A и B несовместны, то
p (A+B)= p (A)+p (B) .
На основании этих аксиом можно получить формулу для классического определения вероятности:
Р (А) = m / n, (1.1)
т.е. вероятность любого события есть величина, равная отношению числа m опытов (исходов), в которых событие А произошло, к общему числу проводимых опытов n, причем возможность появления каждого из элементов одинакова.
Пример 1.8. В ящике находятся 15 хороших деталей и 10 бракованных.
Найти вероятность того, что при изъятии одной детали из ящика, она окажется бракованной (обозначим как событие А).
Решение.Общее число деталей в ящикеn= 15+10=25. Число исходов, соответствующих тому, что выбрана бракованная деталь,m= 10. Следовательно, вероятность того, что будет вынута бракованная деталь, равна
Р(А)=m / n= 10/25= 2/3.