Интервальные оценки математического ожидания нормального распределения

Интервальная оценка математического ожидания при известной дисперсии.Построим доверительный интервал для математического ожидания наблюдаемой случайной величиныпри известной дисперсиипо выборке.

Образуем вспомогательную случайную величину , где- точечная оценка математического ожидания. Согласно утверждению 1 теоремы Фишера, случайная величинаимеет нормальное распределениеи ее функция распределенияне зависит от неизвестного параметра.

Доверительный интервал, соответствующий надежности β, определяется из условия (3.20), которое в нашем случае имеет вид

. (3.31)

Неравенства иявляются равносильными, то есть для любой выборкиони выполняются или не выполняются одновременно, поэтому соотношение (3.31) можно записать в виде

. (3.32)

Поскольку случайная величина имеет стандартное нормальное распределение, вероятность в левой части формулы (3.32) можно выразить через нормальную стандартную функцию распределения по формуле (3.7):

. (3.33)

Приравняв правую часть формулы (3.33) заданной доверительной вероятности β, получим уравнение . Решение этого уравненияявляется квантилью порядка стандартного нормального распределения и определяется по таблице значений стандартной нормальной функции распределения (см. табл. В Приложения). Предельная ошибкавычисляется по формуле. Таким образом, доверительным интервалом математического ожидания, соответствующим надежности β, является интервал

. (3.34)

Интервальная оценка математического ожидания при неизвестной дисперсии.

По выборке из нормального распределениятребуется построить доверительный интервал для неизвестного математического ожиданияпри неизвестной дисперсииD=σ². Введем новую случайную величину, где- несмещенная выборочная дисперсия.

Статистика согласно утверждению 3 теоремы Фишера имеет распределение Стьюдента сстепенями свободы. Рассуждая аналогично случаю, когда дисперсия известна, получим следующий доверительный интервал для математического ожидания:

, (3.35)

где - квантиль порядка распределения Стьюдента. В отличие от доверительного интервала (3.34) длина интервала (3.35) случайна и зависит от случайной величины. Поскольку с увеличением числа степеней свободы распределение Стьюдента быстро приближается к нормальному, то для больших выборокинтервалы (3.34) и (3.35) практически совпадают.

Пример 3.2. По результатам 9 измерений напряжения батареи получено среднее арифметическое значение30,6В. Точность вольтметра характеризуется средним квадратическим отклонением 0,2В. Требуется найти доверительный интервал для истинного значения напряжения батареи, соответствующий доверительной вероятности β=0,95, предполагая, что контролируемый признак имеет нормальный закон распределения.

Решение. Для нахождения доверительного интервала воспользуемся формулой (3.34). Квантиль порядка 0,975 найдем по таблице А приложения: .Поскольку предельная ошибка , то доверительный интервал имеет вид

.