- •Предисловие
- •Глава 1. Основные понятия
- •1.1. Задачи и цель науки о сопротивлении материалов и ее значение для инженерного образования
- •1.2. Геометрическая классификация объектов
- •1.3. Классификация внешних сил
- •1.4. Расчетная схема
- •1.5. Допущения о свойствах материала
- •1.6. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса
- •1.6.1. Основные понятия
- •1.6.2. Метод сечений
- •1.6.3. Основные виды деформаций бруса
- •1.6.4. Определение внутренних усилий
- •1.6.5. Алгоритм построения эпюр
- •1.6.7. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой
- •1.6.8. Примеры и правила построения эпюр
- •1.6.9. Методика построения эпюр в программном продукте MathCAD
- •1.7. Напряжения. Понятие о напряженном состоянии
- •1.8. Перемещения точки и линейного отрезка
- •1.9. Допущения о характере деформаций
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 2. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев
- •2.1. Моменты сечения
- •2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента
- •2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
- •2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур
- •2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей
- •2.6. Главные оси и главные моменты инерции
- •2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии
- •2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей
- •2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений
- •Вопросы для самопроверки
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи
- •3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела
- •3.4. Главные площадки и главные напряжения
- •3.5. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии
- •3.6.1. Главные напряжения
- •3.6.2. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •4.1. Соотношения Коши
- •4.2. Относительная деформация в произвольном направлении
- •4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке
- •4.4. Объёмная деформация
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии
- •5.2. Коэффициент Пуассона
- •5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях
- •5.4. Закон Гука при сдвиге
- •5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций
- •5.6. Теорема Кастильяно
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 6. Механические характеристики материалов
- •6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов
- •6.2. Машины для испытания материалов
- •6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение
- •6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов
- •6.7.1. Особенности почвенной среды
- •6.7.2. Модели механического поведения почв
- •6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв
- •6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 7. Теории предельного состояния материала
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)
- •7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)
- •7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)
- •7.8. Теории предельного состояния почв
- •7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях
- •7.10. Механика хрупкого разрушения
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 8. Растяжение и сжатие
- •8.1. Напряженное состояние в точках бруса
- •8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях
- •8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях
- •8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)
- •8.2.1. Перемещение точек оси бруса
- •8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем
- •8.3. Расчеты на прочность
- •8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии
- •8.5. Статически неопределимые системы
- •8.5.1. Основные понятия
- •8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами
- •8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры
- •8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 9. Сдвиг и кручение
- •9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг
- •9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений
- •9.1.2. Расчет сварных соединений на срез
- •9.2. Кручение
- •9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр
- •9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения
- •9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки
- •9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением
- •9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении
- •9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения
- •9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •10.1. Общие понятия
- •10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений
- •10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев
- •10.5. Понятие о центре изгиба
- •10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе
- •10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе
- •10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев
- •10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования
- •10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Приложения
ГЛАВА9 Сдвиг и кручение
9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
Результаты предыдущего параграфа позволяют получить расчетные уравнения для напряжений и деформаций при свободном кручении тонкостенных брусьев открытого профиля.
При кручении бруса в виде узкой прямоугольной полосы с большим отношением высоты сечения h к его толщине ( h 10 ) коэффициенты и согласно данным табл. 9.1 можно принять равными 1/3 и вычислять и относительный угол закручивания L для такого профиля по формулам
|
MKP |
|
|
3MKP |
, |
|
(9.59) |
|||
|
2h 2h |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
MKP |
|
|
3MKP |
. |
(9.60) |
||
G 3h |
|
|||||||||
|
L |
|
|
G 3h |
|
Форма и соотношение размеров сечения скручиваемой полосы предопределяют и характер распределения напряжений в ней. За исключением небольших участков у коротких сторон прямоугольника распределение напряжений вдоль его длинных сторон становится равномерным, а по толщине сечения – линейным (рис. 9.29, а). Аналогичный характер имеет распределение напряжений и при криволинейной форме сечения (рис. 9.29, б). Для таких сечений в формулах (9.59) и (9.60) надо высоту сечения h заменить на длину его средней линии L.
При кручении тонкостенного бруса незамкнутого криволинейного или ломаного профиля (рис. 9.29, в) напряжения
иуглы закручивания вычисляются также по формулам (9.59)
и(9.60), если только толщина сечения постоянна.
Если профиль составлен из участков различной толщины i (рис. 9.29, в), то крутящий момент в сечении можно представить как сумму моментов Mi , возникающих в каждом отдельном участке сечения. В соответствии с формулой (9.60)
MKP i |
G 3h |
|
||
i i |
. |
(9.61) |
||
3 |
||||
|
|
|
419
В. А. Жилкин
а |
б |
в |
Рис. 9.29
Принимая, что углы поворота всех сечений одинаковы, находим крутящий момент, возникающий в поперечном сечении:
MKP MKP i |
1 G i3hi . |
|||||
|
|
i |
|
3 |
i |
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
3MKP |
, |
|
(9.62) |
|
G i3hi |
|
|||||
где |
i |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
JK |
i3hi |
– |
|
(9.63) |
||
i |
|
|
||||
|
|
3 |
|
|
|
|
момент инерции поперечного сечения тонкостенного бруса при кручении.
420
ГЛАВА9 Сдвиг и кручение
Касательное напряжение на каждом участке согласно формуле (9.59)
i |
3MKPi |
|
2h . |
(9.64) |
|
|
i i |
|
Подставляя в (9.64) MKPi из зависимости (9.61) и затем заменяя выражением (9.62), получим
|
3M |
|
G 3h |
|
3M |
i |
|
|
|
KPi |
|
i i |
|
KP |
|
||
i |
|
|
|
G i |
|
. |
(9.65) |
|
i2hi |
i2hi |
i3hi |
i
Из (9.65) следует, что наибольшие напряжения возникают посередине края участка наибольшей толщины max :
max |
3MKP max |
|
MKP max |
. |
(9.66) |
i3hi |
JK |
|
i
Как уже упоминалось, характерной особенностью тонкостенных стержней открытого профиля является их слабое сопротивление свободному кручению. Например, жесткости на кручение цельной тонкостенной трубы с толщиной стенки и средним диаметром сечения D и такой же трубы, но с тонким разрезом по образующей (рис. 9.28, б и в), находятся в соотношении
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
2 |
D4 |
|
|
|
|||
|
cбез разреза |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
16 |
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
|
K |
|
|
|
|
KP |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
GJ |
|
|
|
12F |
|
|
|
|
|
|
3D |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
c |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
ds |
|
|
|
2 |
D |
2 |
|
|
4 |
2 |
||
|
|
с разрезом |
|
G |
|
L |
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Следовательно, при D 10 |
угол закручивания трубы |
с разрезом в 75 больше, чем цельной.
Пример9.12. Стальной брус прямоугольного сечения размером 60×20 мм и длиной 0,8 м нагружен крутящим моментом МКР = 0,4 кН·м. Вычислить наибольшие касательные напряжения в брусе
421
В. А. Жилкин
по длинной и по короткой сторонам его поперечного сече-
ния, определить угол закручивания бруса при модуле сдвига G 8 104 МПа.
Решение. Наибольшие касательные напряжения по кромкам поперечного сечения бруса вычисляются по формулам (9.56) и (9.58):
max1 MKP , max 2 max1 ,
WKP
где WKP b2h , b 20 мм, h 60 мм, следовательно, hb 3 и из табл. 9.1 находим 0,267 , 0,263 , 0,753 .
Угол закручивания бруса определяется по формуле (9.57)
MKPL .
GJKP
Все дальнейшие вычисления выполним в MathCAD.
Пример9.13. Двутавровая балка длиной L = 1,5 м заделана в стену одним концом, а на другом конце нагружена закручивающим моментом МКР (рис. 9.30). Размеры поперечного сечения балки: a = 12 см, b = 28 см, c = 2 см, d = 1 см. Определить наибольший момент МКР, который может выдержать балка при допускаемом напряжении 60 МПа, и угол закручивания бруса. Стеснением продольных перемещений в балке у заделки пренебречь.
422
ГЛАВА9 Сдвиг и кручение
Рис. 9.30
Решение. Вычисляем момент инерции при кручении тонкостенных профилей по формуле (9.63), приняв обозначения элементов сечения, приведённых на рис. 9.29, в:
|
JK |
i3hi |
|
|
|
|
||
|
i |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в которой 1 |
c , 2 |
d , 3 |
c , h1 |
a , h |
b c c , h3 |
a . |
||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Максимальные касательные напряжения вычисляем по формуле (9.65), а наибольший крутящий момент находим из условия прочности.
Угол закручивания бруса определяем по формуле (9.57). Вычисления требуемых по условию задачи величин
выполним в MathCAD.
423
В. А. Жилкин
Итак, максимальный крутящий момент равен 2,22 кН·м, угол закручивания бруса – 3,2230.
424