- •Предисловие
- •Глава 1. Основные понятия
- •1.1. Задачи и цель науки о сопротивлении материалов и ее значение для инженерного образования
- •1.2. Геометрическая классификация объектов
- •1.3. Классификация внешних сил
- •1.4. Расчетная схема
- •1.5. Допущения о свойствах материала
- •1.6. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса
- •1.6.1. Основные понятия
- •1.6.2. Метод сечений
- •1.6.3. Основные виды деформаций бруса
- •1.6.4. Определение внутренних усилий
- •1.6.5. Алгоритм построения эпюр
- •1.6.7. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой
- •1.6.8. Примеры и правила построения эпюр
- •1.6.9. Методика построения эпюр в программном продукте MathCAD
- •1.7. Напряжения. Понятие о напряженном состоянии
- •1.8. Перемещения точки и линейного отрезка
- •1.9. Допущения о характере деформаций
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 2. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев
- •2.1. Моменты сечения
- •2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента
- •2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
- •2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур
- •2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей
- •2.6. Главные оси и главные моменты инерции
- •2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии
- •2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей
- •2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений
- •Вопросы для самопроверки
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи
- •3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела
- •3.4. Главные площадки и главные напряжения
- •3.5. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии
- •3.6.1. Главные напряжения
- •3.6.2. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •4.1. Соотношения Коши
- •4.2. Относительная деформация в произвольном направлении
- •4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке
- •4.4. Объёмная деформация
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии
- •5.2. Коэффициент Пуассона
- •5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях
- •5.4. Закон Гука при сдвиге
- •5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций
- •5.6. Теорема Кастильяно
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 6. Механические характеристики материалов
- •6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов
- •6.2. Машины для испытания материалов
- •6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение
- •6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов
- •6.7.1. Особенности почвенной среды
- •6.7.2. Модели механического поведения почв
- •6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв
- •6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 7. Теории предельного состояния материала
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)
- •7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)
- •7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)
- •7.8. Теории предельного состояния почв
- •7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях
- •7.10. Механика хрупкого разрушения
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 8. Растяжение и сжатие
- •8.1. Напряженное состояние в точках бруса
- •8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях
- •8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях
- •8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)
- •8.2.1. Перемещение точек оси бруса
- •8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем
- •8.3. Расчеты на прочность
- •8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии
- •8.5. Статически неопределимые системы
- •8.5.1. Основные понятия
- •8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами
- •8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры
- •8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 9. Сдвиг и кручение
- •9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг
- •9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений
- •9.1.2. Расчет сварных соединений на срез
- •9.2. Кручение
- •9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр
- •9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения
- •9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки
- •9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением
- •9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении
- •9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения
- •9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •10.1. Общие понятия
- •10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений
- •10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев
- •10.5. Понятие о центре изгиба
- •10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе
- •10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе
- •10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев
- •10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования
- •10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Приложения
ГЛАВА8Растяжение и сжатие
8.1. Напряженное состояние в точках бруса
8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях
Вырежем из бруса, подверженного центральному растяжению (сжатию) в направлении оси x (рис. 8.1), тремя парами взаимно перпендикулярных плоскостей (параллельные плоскости отстоят друг от друга на малые расстояния dx, dy, dz) элементарный параллелепипед. Пусть одна пара плоскостей совпадает с поперечными, а две другие – с продольными сечениями бруса.
Рис. 8.1
Как мы уже знаем, вырезанный нами элемент находится в линейном напряженном состоянии; в поперечных сечениях бруса, совпадающих с главными площадками, отличными от нуля, будут только нормальные напряжения (см. формулу (5.3)):
x x |
N x |
, |
(8.1) |
|
F x |
||||
|
|
|
где N(x) – нормальная сила в сечении с координатой x;
302
F(x) – площадь поперечного сечения бруса в сечении с координатой x.
Напряжения x являются экстремальными из совокупности нормальных напряжений, возникающих на любых площадках, проходящих через рассматриваемую точку. В продольных сечениях бруса не возникает никаких отличных от нуля напряжений: ни нормальных, ни касательных.
Пример 8.1. Чугунная колонна высотой 3 м имеет кольцевое поперечное сечение с наружным диаметром 25 см и внутренним диаметром 20 см (рис. 8.2). Она нагружена сжимающим усилием 50 т (5·105 Н).
Найти напряжения в поперечном сечении, абсолютное и относительное укорочения колонны.
|
Итак, напряжения в поперечных сечениях |
|
колонны равны 28,29 МПа, абсолютное укоро- |
|
чение колонны – 0,707 мм, а относительное уко- |
Рис. 8.2 |
рочение колонны – 2,36·10–4. |
303
В. А. Жилкин
Все вычисления выполним в системе MathCAD, используя международную систему единиц измерения СИ: единицы длины – метр; единицы силы – ньютон.
Напряжения будем вычислять по формуле (8.1), учитывая, что во всех поперечных сечениях колонны N = P; абсолютное укорочение колонны – по формуле (5.4)
L NLEF ;
относительное укорочение колонны – по закону Гука (формула (5.5) x E x .
8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях
а |
б |
Рис. 8.3
Мысленно разрежем выделенный из бруса параллелепипед плоскостью, нормаль к которой перпендикулярна оси y и составляет с осью x угол (рис. 8.3). На рис. 8.3 показана проекция этой трехгранной призмы на плоскость xoz с действующими по ее граням напряжениями: x ;
z 0 ; xz zx 0 ; ; . Напряжения – нормальные и касательные – по наклонной грани нам пока неизвест-
ны ни по модулю, ни по направлению. Поэтому на чертеже
304
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
эти векторы изображаем ориентированными в положительных направлениях координатных осей. Этот прием позволяет автоматически получить правильные знаки для напряжений
вполученных ниже формулах.
Всоответствии с формулами для определения напряжений в наклонных площадках (3.8) и (3.9)
x |
cos2 |
z sin2 xz sin2 |
|||
|
x |
cos2 |
; |
|
(8.2) |
|
|
|
|
|
|
x z sin2 |
xz |
cos 2 |
|||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 sin2 . |
|
(8.3) |
||
|
x |
|
|
Из формулы (8.2) следует, что нормальные напряжения изменяются от x (при 0o ) до 0 (при 90o ), т. е. наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса (поэтому и расчет прочности растянутого или сжатого бруса, о чем мы будем говорить несколько ниже, проводится по нормальным напряжениям, действующим в его поперечных сечениях).
Из формулы (8.3) следует, что на наклонной площадке, показанной на рис. 8.2, б, вектор касательного напряжения имеет противоположное направление. Касательные напря-
жения xz достигают максимальных величин в площадках, |
|||||||
наклоненных под углами 45o |
к главным (к нормальным |
||||||
сечениям): |
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
x |
|
. |
(8.4) |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8.2. Наибольшее нормальное напряжение в растянутом вдоль оси стержне равно 40 МПа, а по одному из наклонных сечений касательные напряжения равны (–17,3) МПа.
Определить угол наклонного сечения по отношению к поперечному и значение действующего по нему нормального сечения.
305
В. А. Жилкин
По любому наклонному сечению нормальные и касательные напряжения равны (см. формулы (8.2) и (8.3)):
x cos2 ; 2x sin2 .
Полное напряжение, всегда направленное по оси бруса:
p |
2 |
2 |
|
x cos |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
x sin2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
x cos .
Если площадь поперечного сечения стержня F, то площадь наклонного сечения (рис. 8.4)
F cosF .
Поэтому условия равновесия для любого наклонного сечения выполняются:
xF p F .
а |
б |
Рис. 8.4
Перепишем выражение для касательного напряжения в несколько ином виде:
2x sin2 x sin cosx sin sin 90 ,
306
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
из которого следует, что одному и тому же значению касательного напряжения соответствуют два угла и 90 , что и показано на рис. 8.4.
Задачу решим в системе MathCAD.
Угол можно найти непосредственно из формулы для касательных напряжений по наклонной площадке:
|
|
|
|
|
|
|
|
1 arcsin |
|
|
, |
||
|
|
|||||
|
2 |
|
|
x |
или воспользоваться вычислительным блоком Given – Find. В системе MathCAD угол вычислим тем и другим способом.
Из приведенного решения следует, что в одном случае мы получили угол 30o и действующее в этой площадке нормальное напряжение 30 МПа, а в другом (по ортогональной площадке) – дополнительный угол 90o 60o и нормальное напряжение 10 МПа. Такая ситуация связана с тем, что для вычисления угла использовались разные численные процедуры: в первом случае определялся аргумент обратной тригонометрической функции, а во втором – использовался алгоритм решения нелинейного уравнения.
307