- •Предисловие
- •Глава 1. Основные понятия
- •1.1. Задачи и цель науки о сопротивлении материалов и ее значение для инженерного образования
- •1.2. Геометрическая классификация объектов
- •1.3. Классификация внешних сил
- •1.4. Расчетная схема
- •1.5. Допущения о свойствах материала
- •1.6. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса
- •1.6.1. Основные понятия
- •1.6.2. Метод сечений
- •1.6.3. Основные виды деформаций бруса
- •1.6.4. Определение внутренних усилий
- •1.6.5. Алгоритм построения эпюр
- •1.6.7. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой
- •1.6.8. Примеры и правила построения эпюр
- •1.6.9. Методика построения эпюр в программном продукте MathCAD
- •1.7. Напряжения. Понятие о напряженном состоянии
- •1.8. Перемещения точки и линейного отрезка
- •1.9. Допущения о характере деформаций
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 2. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев
- •2.1. Моменты сечения
- •2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента
- •2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
- •2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур
- •2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей
- •2.6. Главные оси и главные моменты инерции
- •2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии
- •2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей
- •2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений
- •Вопросы для самопроверки
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи
- •3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела
- •3.4. Главные площадки и главные напряжения
- •3.5. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии
- •3.6.1. Главные напряжения
- •3.6.2. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •4.1. Соотношения Коши
- •4.2. Относительная деформация в произвольном направлении
- •4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке
- •4.4. Объёмная деформация
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии
- •5.2. Коэффициент Пуассона
- •5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях
- •5.4. Закон Гука при сдвиге
- •5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций
- •5.6. Теорема Кастильяно
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 6. Механические характеристики материалов
- •6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов
- •6.2. Машины для испытания материалов
- •6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение
- •6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов
- •6.7.1. Особенности почвенной среды
- •6.7.2. Модели механического поведения почв
- •6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв
- •6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 7. Теории предельного состояния материала
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)
- •7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)
- •7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)
- •7.8. Теории предельного состояния почв
- •7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях
- •7.10. Механика хрупкого разрушения
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 8. Растяжение и сжатие
- •8.1. Напряженное состояние в точках бруса
- •8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях
- •8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях
- •8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)
- •8.2.1. Перемещение точек оси бруса
- •8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем
- •8.3. Расчеты на прочность
- •8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии
- •8.5. Статически неопределимые системы
- •8.5.1. Основные понятия
- •8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами
- •8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры
- •8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 9. Сдвиг и кручение
- •9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг
- •9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений
- •9.1.2. Расчет сварных соединений на срез
- •9.2. Кручение
- •9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр
- •9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения
- •9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки
- •9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением
- •9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении
- •9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения
- •9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •10.1. Общие понятия
- •10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений
- •10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев
- •10.5. Понятие о центре изгиба
- •10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе
- •10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе
- •10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев
- •10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования
- •10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Приложения
В. А. Жилкин
Пример9.11. Пружина, свитая из проволоки диаметром d = 20 мм и имеющая количество рабочих витков n = 8, сжимается силой P = 8 кН. Средний диаметр пружины D = 12 мм. Определить осадку пружины и максимальные касательные напряженияmax . Модуль сдвига материала пружины G 8,5 104 МПа.
Максимальные касательные напряжения в проволоке пружины – 305,6 МПа, осадка – 6,5 см.
9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
Брус считается тонкостенным, если толщина стенки существенно меньше его прочих линейных размеров (рис. 9.23).
Линия, делящая толщину сечения пополам, называется срединной (средней) линией. Часто тонкостенное сечение, изобража-
ется только его средней линией, а размеры сечения задаются
по этой линии. Если средняя линия замкнута, то профиль называется замкнутым, в противном случае – открытым.
При кручении тонкостенного бруса его поперечные сечения депланируют, т.е. различные точки одного поперечного сечения смещаются друг относительно друга параллельно оси стержня. Если ничто не препятствует свободной
депланации сечений, кручение называется чистым, или свободным, в противном случае – стесненным. При стес-
ненном кручении в отличие от свободного в поперечных сечениях кроме касательных напряжений возникают также и нормальные напряжения.
Рассмотрим случай свободного кручения тонкостенного бруса замкнутого контура (рис. 9.23), при котором попереч-
410
ГЛАВА9 Сдвиг и кручение
ные сечения могут свободно депланировать, но не искажаться в своей плоскости, т. е. не изменяется форма сечения в плане.
Рис. 9.23 |
Рис. 9.24 |
Последнее условие обеспечивается в тонкостенных конструкциях установкой достаточно жестких в своей плоскости диафрагм (в корпусе подводной лодки – шпангоутов, переборок, в крыле самолета – нервюр, в фюзеляже – шпангоутов).
Определим напряжения в поперечных сечениях рассматриваемого бруса.
Крутящий момент, определяемый из условий равновесия отсеченной части бруса, в его поперечных сечениях создаётся касательными напряжениями. Они связаны зависимостью (9.14), из которой касательные напряжения не могут быть определены, если неизвестен закон их распределения по сечению.
Установим направление и характер распределения напряжений по толщине сечения.
В крайних точках нормали n n к средней линии сечения (рис. 9.24) векторы напряжений, как это было показано выше, направлены по касательным к внешнему и внутренним контурам сечения. Вследствие малой толщины сечения эти векторы
411
В. А. Жилкин
почти параллельны, и поэтому с небольшой погрешностью можно считать, что во всех точках нормали n n векторы напряжений параллельны касательной к средней линии сечения. В то же время кручение пустотелого вала кольцевого сечения показывает, что при малой толщине стенки можно пренебречь изменением величины напряжений по толщине сечения.
Таким образом, можно считать, что при кручении тонкостенного бруса замкнутого контура касательные напряжения по толщине распределены равномерно и направлены по касательной к его средней линии.
Установим зависимость между напряжениями 1 и 2
вдвух его произвольных точках, если толщины сечений
вэтих точках 1 и 2 . Для этого двумя продольными сечениями, проходящими через рассматриваемые точки нормально
к контуру, и еще одним поперечным сечением выделим элемент бруса длиной dx. В силу свойства парности в проведен-
ных продольных сечениях будут действовать касательные
напряжения, равные 1 и 2 .
Условие равновесия X 0 системы сил, приложенных к элементу, приводит к уравнению
1 1dx 2 2dx 0 ,
из которого следует
1 1 2 2 .
Так как точки 1 и 2 взяты произвольно, то тем самым доказано, что произведение , называемое потоком касательных напряжений, является величиной постоянной для всего сечения:
const . |
(9.46) |
Так как
Mкр dF ,
F
где dF ds – элементарная касательная сила в сечении;
412
ГЛАВА9 Сдвиг и кручение
ds – момент этой силы относительно произвольно взятой точки O (рис. 9.25), то
|
|
M |
|
|
ds . |
|
|||
|
|
KP |
|
|
|
|
|
|
|
|
Произведение ds |
представляет |
|||||||
|
собой удвоенную площадь треугольника |
||||||||
|
с вершиной в точке O, основанием ds |
||||||||
|
и высотой |
|
(на рис. 9.25 треугольник |
||||||
|
заштрихован). |
|
|
|
Интеграл |
ds даёт |
|||
|
удвоенную площадь фигуры, ограничен- |
||||||||
|
ной средней линией сечения. Обозначим |
||||||||
Рис. 9.25 |
эту площадь через FКР. Тогда |
||||||||
|
|
MKP 2FKP . |
|
||||||
|
Отсюда получаем расчетное уравнение для определе- |
||||||||
|
ния при кручении тонкостенного бруса замкнутого контура: |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MKP |
|
|
. |
|
(9.47) |
|
|
2F |
|
|
|||||
|
|
|
|
KP |
|
|
|
|
|
При постоянной толщине сечения во всех его точках одинаковы по величине. В сечении переменной толщины наибольшее действует там, где сечение тоньше:
|
|
max |
MK |
|
. |
(9.48) |
|
|
2FK min |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Угол закручивания |
тонкостенно- |
||||
|
го бруса в пределах упругих деформаций |
|||||
|
определим, приравняв работу внешних сил |
|||||
|
dA потенциальной энергии деформации dU. |
|||||
|
Выделим двумя поперечными сече- |
|||||
|
ниями элемент бруса длиной dx. Крутящие |
|||||
|
моменты в этих сечениях, являющиеся |
|||||
|
для выделенной части бруса внешними |
|||||
Рис. 9.26 |
нагрузками, производят на угле закручи- |
|||||
|
вания d работу. |
|
|
|
413
В. А. Жилкин
dA |
2 |
(9.49) |
|
MKP d . |
Так как удельная потенциальная энергия при деформации сдвига
u 2 ,
2G
то энергия, накопленная в элементарном объеме с площадью основания ds и высотой dx (рис. 9.26):
2 dsdx ,
2G
а энергия, накопленная во всей рассматриваемой части бруса:
dU 2 dsdx .
2G
Заменяя здесь его значением из выражения (9.47) и учитывая, что МКР, FКР, dx и G – величины постоянные при интегрировании по контуру сечения, получаем
dU |
M2 dx |
|
ds |
|
|
8FKP2 |
G |
. |
(9.50) |
||
|
KP |
|
|
|
|
Приравнивая выражения (9.49) и (9.50), находим относительный угол закручивания тонкостенного бруса:
d MKP ds . dx 4FKP2 G
Введя обозначение
JK |
4F2 |
, |
||
|
KP |
|||
|
ds |
|||
|
|
|||
|
|
|
(9.51)
(9.52)
придадим выражению для такой же вид, как и при кручении бруса круглого сечения:
|
MKP |
|
GJ . |
(9.53) |
|
|
K |
|
414