- •Предисловие
- •Глава 1. Основные понятия
- •1.1. Задачи и цель науки о сопротивлении материалов и ее значение для инженерного образования
- •1.2. Геометрическая классификация объектов
- •1.3. Классификация внешних сил
- •1.4. Расчетная схема
- •1.5. Допущения о свойствах материала
- •1.6. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса
- •1.6.1. Основные понятия
- •1.6.2. Метод сечений
- •1.6.3. Основные виды деформаций бруса
- •1.6.4. Определение внутренних усилий
- •1.6.5. Алгоритм построения эпюр
- •1.6.7. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой
- •1.6.8. Примеры и правила построения эпюр
- •1.6.9. Методика построения эпюр в программном продукте MathCAD
- •1.7. Напряжения. Понятие о напряженном состоянии
- •1.8. Перемещения точки и линейного отрезка
- •1.9. Допущения о характере деформаций
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 2. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев
- •2.1. Моменты сечения
- •2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента
- •2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
- •2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур
- •2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей
- •2.6. Главные оси и главные моменты инерции
- •2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии
- •2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей
- •2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений
- •Вопросы для самопроверки
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи
- •3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела
- •3.4. Главные площадки и главные напряжения
- •3.5. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии
- •3.6.1. Главные напряжения
- •3.6.2. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •4.1. Соотношения Коши
- •4.2. Относительная деформация в произвольном направлении
- •4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке
- •4.4. Объёмная деформация
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии
- •5.2. Коэффициент Пуассона
- •5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях
- •5.4. Закон Гука при сдвиге
- •5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций
- •5.6. Теорема Кастильяно
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 6. Механические характеристики материалов
- •6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов
- •6.2. Машины для испытания материалов
- •6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение
- •6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов
- •6.7.1. Особенности почвенной среды
- •6.7.2. Модели механического поведения почв
- •6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв
- •6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 7. Теории предельного состояния материала
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)
- •7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)
- •7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)
- •7.8. Теории предельного состояния почв
- •7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях
- •7.10. Механика хрупкого разрушения
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 8. Растяжение и сжатие
- •8.1. Напряженное состояние в точках бруса
- •8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях
- •8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях
- •8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)
- •8.2.1. Перемещение точек оси бруса
- •8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем
- •8.3. Расчеты на прочность
- •8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии
- •8.5. Статически неопределимые системы
- •8.5.1. Основные понятия
- •8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами
- •8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры
- •8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 9. Сдвиг и кручение
- •9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг
- •9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений
- •9.1.2. Расчет сварных соединений на срез
- •9.2. Кручение
- •9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр
- •9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения
- •9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки
- •9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением
- •9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении
- •9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения
- •9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •10.1. Общие понятия
- •10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений
- •10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев
- •10.5. Понятие о центре изгиба
- •10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе
- •10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе
- •10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев
- •10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования
- •10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Приложения
ГЛАВА4Деформированное состояние в точке твёрдого тела
4.1. Соотношения Коши
Для того чтобы изучить деформации упругого тела, представим его расчлененным на множество элементарных параллелепипедов. При деформировании всего тела будут менять свои размеры и форму и элементарные параллелепипеды. В случае малых деформаций изменение формы
иразмеров параллелепипедов вполне характеризуется удлинением (укорочением) его ребер и искажением прямых до деформаций углов граней. Деформируясь, элементарные па-
раллелепипеды перемещаются в пространстве как жесткие тела. Если у точки A мысленно выделить такой параллелепи-
пед, который жестко связан с телом только в достаточно малой окрестности этой точки, то для того чтобы определить его
новое положение в связи с общей деформацией всего тела, очевидно, надо задать три линейных перемещения uA , vA
иwA точки A и три угла поворота x , y , z параллелепипеда относительно координатных осей x, y и z соответственно.
Для оценки уровня деформаций материала тела выделим в окрестности точки A параллелепипед с размерами сторон dx , dy и dz (рис. 4.1). Ограничимся рассмотрением проекции этого параллелепипеда только на плоскость xoy
до и после его деформирования (рис. 4.2).
Перемещения точки a в направлении координатных осей x, y обозначим u и v. Найдем перемещения точек b и c
в направлении этих же осей, выразив их через перемещения в точке a, предполагая, что функции u и v известны. Для
этого воспользуемся разложением функции в ряд Тейлора
145
В. А. Жилкин
вокрестности заданной точки (в нашем случае точки a), в соответствии с которым с точностью до бесконечно малых первого порядка (т.к. удерживаем только два первых члена ряда Тейлора) можно записать:
|
u |
|
|
|
v |
|
|
|
uC ua |
|
dx; |
vC va |
|
dx; |
|||
x |
|
|||||||
|
a |
|
|
x a |
|
|||
|
u |
|
|
|
v |
|
|
|
uв uа |
|
dy; |
vв vа |
|
dy. |
|||
y |
y |
|||||||
|
а |
|
|
а |
|
Рис. 4.1 Рис. 4.2
|
|
|
|
|
В данных соотношениях |
|
и |
|
– частные произ- |
х |
у |
|||
водные от соответствующих функций в направлениях x и y. |
Физическая интерпретация выше записанных формул следующая: значение функции в некоторой точке c или b равно значению функции в начальной точке a плюс произведение скорости изменения этой функции в направлении до новой точки на расстояние между этими точками.
Определим углы α и β. На рис. 4.2 показаны форма и положение грани abcd до и после деформирования тела. Так как в соответствии с гипотезой о малости деформаций углы α и β малы, то
146
ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела
a1c2 a1c1 cos a1c1 cos0 a1c1 ; a1b2 a1b1 cos a1b1 cos0 a1b1 .
Следовательно,
v v dx v tg x
dx
v u dy u tg y
dy
v ;x
u .y
Итак,
|
v |
; |
|
u |
. |
(4.1) |
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Определим удлинения ребер ab и ac прямоугольника
abdc. Из рис. 4.2 следует, что абсолютные деформации ребер ab и ac:
ab a1b1
ac a1c1
ab dy v
ac dx u
v |
|
|
v |
dy; |
|
|
y |
dy v dy |
y |
|
|||
|
|
|
|
|
||
u |
|
|
u |
|
(4.2) |
|
dx |
dx. |
|
||||
x |
dx u |
x |
|
|||
|
|
|
||||
|
|
|
Из формул (4.2) следует, что абсолютные деформации ребер зависят от начальных их длин dx и dy и поэтому не могут служить мерой линейной деформации.
Мерой линейной деформации является относительное удлинение, равное отношению абсолютной деформации к первоначальной длине элемента.
147
В.А. Жилкин
Всоответствии с формулами (4.2) линейные деформации ребер ac и ab (или линейные деформации в направлении координатных осей x и y) равны
x
y
u
ac x dx ac dx
v
ab y dy ab dy
u ;x
vy .
Индекс в обозначении осевой деформации указывает на ось, параллельно которой происходит изменение длины ребра.
Линейные деформации считаются положительными, если они соответствуют удлинению ребер, отрицательные
деформации соответствуют укорочению ребер. Поскольку форма тела меняется незначительно, то упругие деформации обычно малы по сравнению с единицей и составляют тысяч-
ные доли единицы.
Из формул (4.2) следует, что абсолютное удлинение L отрезка прямой длиной L, проведенного в недеформируемом теле можно найти, если известна линейная деформацияL в этом направлении
L LL |
. |
(4.3) |
Мерой изменения формы прямоугольника является деформация сдвига xy (или угол сдвига), равная изменению прямого угла xy .
В соответствии с зависимостями (4.1) деформация сдвига определяется по формуле
xy u v .
y x
Индексы x и y указывают, в какой координатной плоскости появляется угол сдвига между ребрами параллелепипеда.
148
ГЛАВА4 Деформированное состояние в точке твёрдого тела
Деформации сдвига считаются положительными, если отвечают уменьшению угла между соответствующими гранями параллелепипеда. В противном случае деформации отрицательны.
Зная величины углов α и β, можно определить и жесткий поворот элемента abcd вокруг оси z на угол z :
z v u .x y
Выполняя аналогичные преобразования над другими проекциями на координатные плоскости, можно получить аналогичные меры деформации и в других плоскостях.
Как показывается в курсах теории упругости, в общем случае существуют следующие дифференциальные зависимости между перемещениями u, v, w, деформациями x , y , z , xy ,yz , zx , компонентами жесткого поворота x , y , z :
x |
|
u |
|
|
|
xy |
u |
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
; |
|
y |
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
v |
|
|
|
|
|
|
v |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
|
(4.4) |
||
y |
; |
|
yz |
z |
y |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
z |
|
w |
|
|
|
|
|
|
|
w |
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
. |
|
zx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
x |
|
w |
v |
; |
y |
u |
w |
; |
|
z |
|
v |
|
u . |
|||||||
|
|
y |
|
|
z |
|
|
|
z |
x |
|
|
|
x |
|
y |
Таким образом, зная три перемещения u, v, w, можно по соотношениям (4.4), или соотношениям Коши16, найти шесть
16
Коши Огюстен-Луи (1789–1857), французский математик, профессор парижской политехнической школы. Работы по математике чистой и прикладной. В работах по теории упругости он рассматривал тело как сплошную среду и оперировал напряжением и деформацией, относимой к каждой точке.
149
В. А. Жилкин
компонентов деформаций: три линейные ( x , y , z ) и три сдвиговые ( xy , yz , zx ). Какой бы сложной ни была деформация тела, деформацию элемента тела можно разложить на две составляющие элементарные деформации: линейную деформацию и угловую деформацию, или деформацию сдвига.
Линейная деформация , связанная с нормальным напряжением , приводит к изменению линейных размеров тела и к изменению его объема, а сдвиговая деформация , связанная с касательными напряжениями , приводит к изменению формы тела (рис. 4.3).
а |
б |
Рис. 4.3
На рис. 4.3, а в соответствии с формулой (4.3) абсолютная деформация L L , а абсолютный сдвиг S – смещение одной плоскости по отношению к другой – определяется
зависимостью, следующей из рис. 4.3, б: |
|
S a, |
(4.5) |
где a – размер элемента.
Совокупность линейных деформаций по различным направлениям и угловых деформаций по различным пло-
скостям, проходящим через рассматриваемую точку, называют деформированным состоянием в этой точке.
Если даны три компоненты непрерывного поля перемещений u, v, w, то по ним легко из соотношений (4.4) опре-
деляются все шесть компонентов деформации x , y , z ,
xy , yz , zx . Обратная же задача решается гораздо сложнее:
150