- •Предисловие
- •Глава 1. Основные понятия
- •1.1. Задачи и цель науки о сопротивлении материалов и ее значение для инженерного образования
- •1.2. Геометрическая классификация объектов
- •1.3. Классификация внешних сил
- •1.4. Расчетная схема
- •1.5. Допущения о свойствах материала
- •1.6. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса
- •1.6.1. Основные понятия
- •1.6.2. Метод сечений
- •1.6.3. Основные виды деформаций бруса
- •1.6.4. Определение внутренних усилий
- •1.6.5. Алгоритм построения эпюр
- •1.6.7. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой
- •1.6.8. Примеры и правила построения эпюр
- •1.6.9. Методика построения эпюр в программном продукте MathCAD
- •1.7. Напряжения. Понятие о напряженном состоянии
- •1.8. Перемещения точки и линейного отрезка
- •1.9. Допущения о характере деформаций
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 2. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев
- •2.1. Моменты сечения
- •2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента
- •2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
- •2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур
- •2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей
- •2.6. Главные оси и главные моменты инерции
- •2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии
- •2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей
- •2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений
- •Вопросы для самопроверки
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи
- •3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела
- •3.4. Главные площадки и главные напряжения
- •3.5. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии
- •3.6.1. Главные напряжения
- •3.6.2. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •4.1. Соотношения Коши
- •4.2. Относительная деформация в произвольном направлении
- •4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке
- •4.4. Объёмная деформация
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии
- •5.2. Коэффициент Пуассона
- •5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях
- •5.4. Закон Гука при сдвиге
- •5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций
- •5.6. Теорема Кастильяно
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 6. Механические характеристики материалов
- •6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов
- •6.2. Машины для испытания материалов
- •6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение
- •6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов
- •6.7.1. Особенности почвенной среды
- •6.7.2. Модели механического поведения почв
- •6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв
- •6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 7. Теории предельного состояния материала
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)
- •7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)
- •7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)
- •7.8. Теории предельного состояния почв
- •7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях
- •7.10. Механика хрупкого разрушения
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 8. Растяжение и сжатие
- •8.1. Напряженное состояние в точках бруса
- •8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях
- •8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях
- •8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)
- •8.2.1. Перемещение точек оси бруса
- •8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем
- •8.3. Расчеты на прочность
- •8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии
- •8.5. Статически неопределимые системы
- •8.5.1. Основные понятия
- •8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами
- •8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры
- •8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 9. Сдвиг и кручение
- •9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг
- •9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений
- •9.1.2. Расчет сварных соединений на срез
- •9.2. Кручение
- •9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр
- •9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения
- •9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки
- •9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением
- •9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении
- •9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения
- •9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •10.1. Общие понятия
- •10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений
- •10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев
- •10.5. Понятие о центре изгиба
- •10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе
- •10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе
- •10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев
- •10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования
- •10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Приложения
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Откуда после преобразований следует зависимость (8.28):
N1 |
|
8Pc1 |
. |
||
4c1 |
9c2 |
||||
|
|
|
8.5.5.Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры
Из курса физики известно, что при повышении температуры линейные размеры тела увеличиваются, а при охлаждении уменьшаются. Абсолютная величина удлинения (укорочения) бруса, вызванная изменением его температуры на to , определяется по формуле
L |
L to , |
(8.32) |
t |
|
|
где – коэффициент линейного расширения бруса;
L – его длина. Коэффициенты линейного расширения для некоторых наиболее часто встречающихся в расчетах материалов приведены в табл. 8.1.
Таблица 8.1
Коэффициенты линейного теплового расширения твердых тел в интервале (0…100 0С)
№ |
Материал |
–7 0 |
№ |
Материал |
–7 0 |
|
|
|
|||||
п/п |
α, 10 C |
п/п |
α, 10 C |
|||
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Алюминий |
238 |
9 |
Никель |
130 |
|
2 |
Бетон |
120 |
10 |
Нихром |
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
Бронза |
175 |
11 |
Поливинилхлорид |
800 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
Высокоуглеродистая |
160 |
12 |
Полистирол |
750 |
|
сталь |
||||||
|
|
|
|
|
||
5 |
Железо |
122 |
13 |
Полиэтилен |
2000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
Кварцевое стекло |
60 |
14 |
Серый чугун |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
Латунь |
184 |
15 |
Сталь |
117 |
|
8 |
Медь |
165 |
16 |
Стекло |
81 |
|
|
|
|
|
|
|
343
В. А. Жилкин
а |
б |
Рис. 8.14
Рассмотрим две стержневые системы, образованные из системы, изображенной на рис. 8.13, из которых одна (рис. 8.14, а) статически определима, а вторая (рис. 8.14, б) – статически неопределима. Для обеих систем брус AD считается абсолютно твердым телом; упругие и геометрические характеристики стержней 1 и 2 считаются заданными.
Изменение температуры стержня 1 на величину to
встатически определимой системе не вызовет напряжений
встержне 1, т. к. ничто не препятствует изменению его длины (он удлинится, вызвав поворот бруса AD вокруг точки A),
вто время как в статически неопределимой системе в стержнях 1 и 2 возникнут напряжения, т. к. свободному удлинению стержня 1 препятствует стержень 2. В результате как в стержне 1, так и в стержне 2 возникнут сжимающие напряжения. Найдем эти напряжения.
Всоответствии с расчетной схемой, изображенной
на рис. 8.13, б, условия равновесия системы сил, приложенной к недеформируемому брусу AD, имеют вид
YA N1 N2 0 ; 2N1 a 3N2a 0 . |
(8.33) |
Два уравнения системы (8.33) содержат три неизвестные величины YA , N1 и N2 , т. е. задача один раз статически
344
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
неопределима. Для раскрытия статической неопределимости составим одно дополнительное уравнение (уравнение совместности деформаций).
а |
б |
Рис. 8.15
Схема деформированной конструкции изображена на рис. 8.15, б. Если бы не было стержня 2, то удлинение стержня 1 на величину Lt привело бы к повороту бруса AD и он занял бы положение AD1. Но стержень 2 препятствует такому перемещению бруса AD, и он займет некоторое промежуточное положение AD2, вызвав сжатие как стержня 1, так и стержня 2. Из подобия треугольников ABB2 ACC2 следует:
Lt L1 |
|
L2 |
, |
(8.34) |
|
|
2a |
3a |
|||
где |
|
|
|
|
|
L N1 |
; L N2 . |
|
|||
1 |
c1 |
|
2 |
c2 |
|
|
|
|
|
При подстановке выражений для L1 и L2 в зависимость (8.34) необходимо учесть, что усилия N1 и N2 на расчетной схеме (рис. 8.15, б) соответствуют сжатию стержней. Итак, соотношение (8.34) преобразуется к виду
Lt N1 2N2 c1 3c2
345
В. А. Жилкин
или же
N1 |
2N2 |
Lt . |
(8.35) |
|
|||
c1 |
3c2 |
|
Решая совместно последнее (8.33) и уравнение (8.35), найдем
N2 |
|
3 |
|
2 |
|
Lt . |
|
|
|
||||||
|
|
||||||
|
|
2c1 |
3c2 |
|
Следовательно,
N |
6 Lt c1c2 |
, |
|
|||
|
|
|
||||
2 |
|
4c1 9c2 |
|
|||
|
|
|
||||
N1 |
3 |
|
|
9 Lt c1c2 |
||
2 N2 |
|
|||||
4c 9c |
||||||
|
|
|
1 |
2 |
уравнение из системы
(8.36)
. (8.37)
Таким образом, изменение температуры статически неопределимой системы (или отдельных ее частей) вызывает напряжения в ее элементах (температурные напряжения); в статически определимых системах при изменении температуры возникают перемещения без появления внутренних усилий.
Температурные напряжения могут быть значительны; для их уменьшения в конструкциях предусматривают специальные температурные зазоры, в трубопроводах – температурные компенсаторы (u-образно изогнутые участки труб).
8.5.6.Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах
Существует еще один вид напряжений, которые характерны только для статически неопределимых систем. Это так называемые начальные, или монтажные, напряжения. Они возникают в конструкции до приложения к ней рабочих нагрузок. Причиной их возникновения являются неточности изготовления отдельных элементов конструкции.
346
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
а |
б |
Рис. 8.16
Рассмотрим, например, те же две стержневые системы, что и в разделе 8.4.3. Пусть стержень 1 изготовлен длиннее проектного размера на малую величину . Это приведет в статически определимой системе (рис. 8.16, а) только к повороту бруса AD и не вызовет напряжений в стержне 1. В статически неопределимой системе (рис. 8.16, б) поворот бруса AD вызовет сжимающие усилия N1 и N2 в стержнях 1 и 2.
Если сопоставить рисунки 8.14 и 8.16, то можно констатировать, что при замене на рис. 8.14 Lt на расчетные схемы обеих задач совпадут, а потому и процедура определения начальных напряжений не будет отличаться от процедуры поиска температурных напряжений. Если в уравнении совместности деформаций (8.35) Lt заменить на , то монтажные усилия будут определяться соотношениями, подобными (8.36) и (8.37):
N2 |
|
6 c1c2 |
; |
(8.38) |
||
|
|
|||||
|
|
|
4c1 9c2 |
|
||
N |
|
|
9 c1c2 |
. |
(8.39) |
|
|
|
|||||
1 |
|
|
4c1 9c2 |
|
||
|
|
|
|
347
В. А. Жилкин
Если к заданной статически неопределимой системе (рис. 8.16, б) приложить теперь нагрузку, например силу P в точке D (рис. 8.13, а), то усилия от этой нагрузки будут определяться зависимостями (8.28) и (8.29). Суммируя их с монтажными усилиями (8.38) и (8.39), получим:
N |
|
8Pc1 |
|
|
|
9 c1c2 |
; |
(8.40) |
|||
|
|
|
|
|
|||||||
1 |
|
|
4c1 9c2 |
|
|
4c1 9c2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
N |
|
|
12Pc2 |
|
|
6 c1c2 |
. |
(8.41) |
|||
|
|
|
|
||||||||
2 |
|
4c1 9c2 |
4c1 9c2 |
|
|||||||
|
|
|
Изменяя неточность изготовления стержня , которая
может быть как положительной, так и отрицательной, можно искусственнорегулироватьусилияинапряжениявстатически неопределимых системах. Так, стойка 1 в рассматриваемой
задаче работает на сжатие. Как мы узнаем в дальнейшем, напряжения в поперечных сечениях сжатых стержней должны удовлетворять не только условию прочности, но и условию устойчивости, которое для длинных стержней ( L1 F1 ) накладывает жесткие ограничения на величину усилия N1 . Предположим, что усилие N1 не должно превышать допускаемого Ny , определяемого из условий устойчивости стержня 1, т. е.
N N . |
(8.42) |
|
1 |
y |
|
Воспользовавшись зависимостью (8.40) можно найти , обеспечивающее выполнимость неравенства (8.42):
|
8Pc1 |
|
|
|
|
|
|
9 c1c2 |
|
N |
|
|
|||||||
|
4c |
9c |
|
|
|
4c |
9c |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
||||||||||
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
y |
|
4c |
|
|
9c |
|
|
8P |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||
|
|
|
|
9c c |
|
|
|
9c |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
Отсюда
348
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
N |
|
4c |
|
9c |
|
|
8P |
|
|
||
где |
|
|
y |
1 |
|
|
2 |
|
|
– максимальная предель- |
|||
|
|
9c1c2 |
|
|
9c2 |
||||||||
ная |
|
|
|
|
|
|
неточности изготовления |
||||||
(допускаемая) |
величина |
стержня 1, обеспечивающая равенство усилий в соотношении (8.42).
В настоящее время искусственное регулирование усилий широко применяется в строительстве (предварительно напряженный железобетон, большепролетные деревянные конструкции) и реже применяется в машиностроении (при изготовлении станин тяжелых машин, высоконапряженных слоистых труб и т. п.).
Пример 8.9. Определить усилия в стержнях 1 и 2. Треугольник абсолютно жесткий. Площади поперечных сечений стержней указаны на рис. 8.17. Модули упругости материалов всех стержней одинаковы.
Данная задача один раз статически неопределима, так как в опорных закреплениях возникают четыре реакции связей, а уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить только три. Поэтому для раскрытия статической неопределимости задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение (уравнение совместности деформаций).
Предположим, что под действием силы P треугольник повернулся вокруг точки O на некоторый угол. Стержни 1 и 2 сжались на величины L1 и L2 соответственно. Из подобия треугольников OAC и OBD следует соотношение между абсолютными перемещениями L1 и L2 стержней 1 и 2 (рис. 8.17, б):
L1 L2 , a 2a
которое и является искомым уравнением совместности деформаций.
349
В. А. Жилкин
а |
б |
Рис. 8.17
Так как по условию задачи требуется определить только усилия N1 и N2 в стержнях 1 и 2, а реакции в шарнире О нас не интересуют, то из уравнений равновесия системы сил, приложенных к треугольнику, нам потребуется только одно – сумма моментов всех сил относительно точки О.
Решение задачи выполним в MathCAD.
Итак, N1 P5 , а N1 2P5 .
Пример8.10. Стальной болт пропущен сквозь медную трубку, как показано на рис. 8.18, шаг нарезки болта равен t = 3 мм. Какие напряжения возникают в болте и трубке при завинчивании гайки на 1/4 оборота?
350
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
а |
б |
Рис. 8.18
Решение. Так как внешние силы отсутствуют, то при повороте гайки образуется система внутренних самоуравновешенных сил, которые имеют такие направления и величины, что удовлетворяют условиям равновесия сами по себе. Растягивающее усилие в болте и сжимающее усилие в трубке будут равны, но противоположны по направлению.
Рассечем мысленно болтовое соединение на две части, правую часть отбросим и рассмотрим равновесие левой части (рис. 8.18, б).
Система сил, приложенная к отсеченной части болта, расположена вдоль его оси и потому мы имеем только одно уравнение равновесия, содержащее два неизвестных Nст и Nм :
Nст Nм 0 .
Таким образом, задача один раз статически неопределима и для раскрытия статической неопределимости необходимо составить одно дополнительное уравнение.
Условие совместности деформаций, выражающее усло- |
|||||||
вие, что удлинение болта Lс , сложенное с укорочением |
|||||||
трубки L |
равно перемещению гайки |
t |
вдоль болта, |
||||
|
|||||||
м |
|
|
4 |
|
|||
имеет вид |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
L |
|
t |
. |
|
|
|
|
|
|||||
|
с |
м |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Все вычисления выполним в системе MathCAD.
351
В. А. Жилкин
|
Итак, напряжения в болте составили 127,3 МПа, а в труб- |
|
ке – 36,36 МПа. |
||
Пример8.11. Три |
|
стержня, шарнирно скреплённые в одной точке |
(рис. 8.19), имеют одинаковые поперечные сечения. Опре- |
||
делить площадь поперечного сечения, принимая 30o |
||
|
|
160 МПа. |
и |
|
а |
б |
в |
Рис. 8.19
352
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Решение. Вырежем узел А и запишем условия равновесия сходящейся системы сил, приложенных к узлу (рис. 8.18, б).
X 0 ; |
N3 N2 sin 0 |
; |
Y 0 ; |
N1 N3 N 2 cos |
P 0 . |
Два уравнения равновесия содержат три неизвестных усилия: N1 , N2 , N3 . Следовательно, для раскрытия статической неопределимости необходимо составить одно дополнительное уравнение.
После деформирования упругой системы узел А переместится в точку А1. Первый стержень удлинится на величинуL1 . Опуская перпендикуляры на стержни 2 и 3, найдём L2 и L3 . На основе рис. 8.19, в соотношение между абсолютными деформациями стержней:
L2 L1 cos или NEF2L NEF1L cos .
Решая совместно уравнения равновесия и геометрическое уравнение, найдём N1 , N2 , N3 .
Все вычисления выполним в системе MathCAD. Так как длины стержней, их площади и материал не заданы, то решение системы уравнений найдем с использованием символьного процессора.
353
В. А. Жилкин
Площадь поперечного сечения стержней равна 3 см2.
Пример8.12. Определить напряжения в стержнях 1, 2 и 3 предыдущей задачи, возникающие при сборке узла А из-за неточно-
сти изготовления стержней (рис. 8.20). L 1 м, 1 мм, E 2 105 МПа, F 3 см2.
а |
б |
в |
Рис. 8.20
Как и в предыдущей задаче, вырежем узел Аи запишем условия равновесия сходящейся системы сил, приложенных к узлу (рис. 8.20, б).
X 0 ; |
N3 N2 sin 0 ; |
Y 0 ; |
N1 N3 N 2 cos 0 . |
354
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Добавим к уравнениям равновесия условие совместности деформации стержней 1, 2 и 3 (рис. 8.20, в):
L1 L2 , cos
и решим полученную систему уравнений в системе MathCAD.
Неточность изготовления первого стержня привела к возникновению монтажных растягивающих напряжений: в первом стержне – 120 МПа, во втором – 69,3 МПа.
Пример8.13. Два жестких бруса соединены, как показано на рис. 8.21, тремя стержнями. Крайние стержни стальные, с площадью сечения верхней части, равной 16 см2, и нижней части – 10 см2; средний стержень медный, с площадью сечения, равной 20 см2. Между верхним концом среднего стержня и верхним брусом поставлена без натяга пружина с коэффициентом податливости 1,25 10 9 м/Н (осадка пружины на 1 Н нагрузки). При заданной нагрузке определить напряжения в соединительных стержнях.
355
В. А. Жилкин
а |
б |
Рис. 8.21
Решение. Отсоединим верхний брус от стержней, а действия бруса на стержни заменим рекциями связи RA , RB , RC , направленными вверх. Составляем условия равновесия системы сил, приложенных к конструкции.
y 0 ; |
RA RB |
RC |
P |
P |
P 0 ; |
|
|
|
2 |
2 |
|
MB 0 ; |
|
P |
|
|
P |
RA |
a RC |
a 0 |
|||
|
|
2 |
|
|
2 |
или |
|
|
|
|
|
RA RB RC 0 ; RA RC . |
|
(А) |
Итак, два уравнения равновесия содержат три неизвестных реакции связей RA , RB , RC , т.е. задача один раз статически неопределима. В связи с чем необходимо составить одно дополнительное уравнение – уравнение совместности деформаций.
Ввиду силовой и геометрической симметрии конструкции жесткие брусья будут оставаться параллельными в про-
356
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
цессе деформирования стержней. Следовательно, перемещение точки А стального стержня будет равно перемещению точки В, являющегося следствием деформирования медного стержня и пружины, т.е.
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
R L |
|
RA |
2 |
L2 |
|
R |
L1 L2 |
|
|
|
A 1 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
R . |
(Б) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ECFC1 |
|
ECFC2 |
|
|
EMFM |
|
B |
|
||
|
|
|
|
|
|
Решая совместно уравнения (А) и (Б), находим реакции RA , RB , RC , а затем и искомые напряжения.
Все вычисления выполним в MathCAD.
Пример8.14. Тонкостенное кольцо шириной a, толщиной h и внутренним радиусом R нагружено внутренним давлением q (рис. 8.22, а). Определить напряжения в поперечных сечениях кольца и изменение радиуса кольца.
Решение. Как будет показано в дальнейшем, всякий замкнутый контур три раза статически неопределим – неизвестными являются внутренние силовые факторы N, Q и M в поперечном сечении контура. При симметричной нагрузке в кольце отличной от нуля будет только нормальная сила N. Найдём её.
357
В. А. Жилкин
а |
б |
Рис. 8.22
Рассмотрим равновесие половины кольца (рис. 8.22, б). Двумя радиальными сечениями под углами и d вырежем малый элемент с площадью внутренней поверхности Rd a . На эту площадь будет действовать давление qRad . Проектируя все силы, действующие на полукольцо, на направление оси y, получим
2
2 qRasin d 2N 0 .
0
Откуда
2
N qRa sin d qRa cos
0
qRa 0 1 qRa.
2 0
Напряжения в поперечных сечениях кольца будут равны:
N qRa qR F ha h .
358
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Новая длина внутренней окружности кольца:
L 2 R 1 2 R ,
где E ( E – модуль упругости материала кольца);
R R 1 – новый радиус кольца.
Изменение радиуса кольца составит R .
Пример8.15. Медная трубка плотно, без давления, надета на стальную трубку при температуре t 200o С. Определить напряжения, которые возникнут в обеих трубках при охлаждении до температуры t 20o С, если внешний диаметр стальной трубки dC 14 см, толщина стальной трубки hC 0,4 см, а медной трубки – hM 0,6 см (рис. 8.23, а).
а |
б |
в |
Рис. 8.23 |
|
|
Решение. Так как M 165 10 7 C 125 10 7 , то при охлаждении возникнет контактное давление q между внешней и внутренней трубками. Растягивающее усилие в медной трубке NM и сжимающее усилие в стальной трубке NC будут равны (рис. 8.23, б):
359
В. А. Жилкин
y 0 ; 2NC 2NM 0 ; NC NM .
Растягивающее усилие в медном кольце шириной a 1 и толщиной hM , вырезанном из трубки и нагруженном внутренним давлением q равно (см. предыдущий пример):
NM qR .
Уравнение совместности деформаций должно выражать следующие условия: после охлаждения в медном и стальном кольцах относительные удлинения по окружности одинаковы (рис. 8.23, в):
M C
или
Mt Mq Ct Cq .
Подставляя зависимости относительных деформаций от физических, силовых и геометрических параметров колец, получим
M t t0 |
Rq |
C t t0 |
Rq |
. |
|
EMhM a |
EC hC a |
||||
|
|
|
Откуда находим давление.
Все дальнейшие преобразования и вычисления выполним в MathCAD.
360
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Температурные растягивающее напряжение в медной и сжимающее напряжение в стальной трубках будут:
M 41,14 МПа; M 61,71 МПа.
Пример8.16. Составное кольцо состоит из внутреннего медного кольца
инаружного стального. Внешний диаметр медного кольца
больше внутреннего диаметра стального кольца на величину 0,15 мм, поэтому сборка осуществляется путем на-
гревания наружного кольца. Определить напряжения в стали
имеди после сборки, если кольца имеют поперечные сечения:
медное – ширина a 1 см, толщина hM 0,6 см; стальное – ширина a 1 см, толщина hC 0,4 см. Радиус поверхности соприкосновения R 7 см (рис. 8.24, а).
а |
б |
в |
Рис. 8.24
361
В. А. Жилкин
Решение. Обозначим давление, возникающее на поверхности соприкосновения, через q. Растягивающее усилие в стальном кольце и сжимающее усилие в медном кольце будут равны (см. предыдущий пример):
NC NM qR .
Увеличение внутреннего диаметра стального кольцаdC , сложенное с уменьшением внешнего диаметра медного кольца dM , должно равняется (рис. 8.24 б):
dC dM .
Увеличение внутреннего диаметра стального кольца:
dC C 2R C 2R qR 2R . EC ECFC
Уменьшение внешнего диаметра медного кольца:
dM M 2R M 2R qR 2R .
EM EMFM
После подстановки dC и dM в уравнение совместности деформаций оно примет вид
2qR2 2qR2
ECFC EMFM
.
Из полученного уравнения определяем давление q и затем напряжения в поперечных сечениях колец.
362
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Итак, напряжение в медном кольце – 61,22 МПа, напряжение в стальном кольце – 91,84 МПа.
363