![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Предисловие
- •Глава 1. Основные понятия
- •1.1. Задачи и цель науки о сопротивлении материалов и ее значение для инженерного образования
- •1.2. Геометрическая классификация объектов
- •1.3. Классификация внешних сил
- •1.4. Расчетная схема
- •1.5. Допущения о свойствах материала
- •1.6. Внутренние усилия в поперечных сечениях бруса
- •1.6.1. Основные понятия
- •1.6.2. Метод сечений
- •1.6.3. Основные виды деформаций бруса
- •1.6.4. Определение внутренних усилий
- •1.6.5. Алгоритм построения эпюр
- •1.6.7. Интегральные зависимости между внутренними силовыми факторами и внешней нагрузкой
- •1.6.8. Примеры и правила построения эпюр
- •1.6.9. Методика построения эпюр в программном продукте MathCAD
- •1.7. Напряжения. Понятие о напряженном состоянии
- •1.8. Перемещения точки и линейного отрезка
- •1.9. Допущения о характере деформаций
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 2. Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев
- •2.1. Моменты сечения
- •2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента
- •2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей
- •2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур
- •2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей
- •2.6. Главные оси и главные моменты инерции
- •2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии
- •2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей
- •2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур
- •2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений
- •Вопросы для самопроверки
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи
- •3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела
- •3.4. Главные площадки и главные напряжения
- •3.5. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии
- •3.6.1. Главные напряжения
- •3.6.2. Экстремальные касательные напряжения
- •3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •4.1. Соотношения Коши
- •4.2. Относительная деформация в произвольном направлении
- •4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке
- •4.4. Объёмная деформация
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии
- •5.2. Коэффициент Пуассона
- •5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях
- •5.4. Закон Гука при сдвиге
- •5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций
- •5.6. Теорема Кастильяно
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 6. Механические характеристики материалов
- •6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов
- •6.2. Машины для испытания материалов
- •6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение
- •6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов
- •6.7.1. Особенности почвенной среды
- •6.7.2. Модели механического поведения почв
- •6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв
- •6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 7. Теории предельного состояния материала
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)
- •7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)
- •7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)
- •7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)
- •7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)
- •7.8. Теории предельного состояния почв
- •7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях
- •7.10. Механика хрупкого разрушения
- •Вопросы для самопроверки
- •Глава 8. Растяжение и сжатие
- •8.1. Напряженное состояние в точках бруса
- •8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях
- •8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях
- •8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)
- •8.2.1. Перемещение точек оси бруса
- •8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем
- •8.3. Расчеты на прочность
- •8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии
- •8.5. Статически неопределимые системы
- •8.5.1. Основные понятия
- •8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами
- •8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры
- •8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Глава 9. Сдвиг и кручение
- •9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг
- •9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений
- •9.1.2. Расчет сварных соединений на срез
- •9.2. Кручение
- •9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр
- •9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения
- •9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки
- •9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением
- •9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении
- •9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага
- •9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля
- •9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения
- •9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •10.1. Общие понятия
- •10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений
- •10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе
- •10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев
- •10.5. Понятие о центре изгиба
- •10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе
- •10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе
- •10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев
- •10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования
- •10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров
- •Вопросы для самопроверки
- •Варианты вопросов в билетах ЕГЭ
- •Приложения
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0306x1.jpg)
В. А. Жилкин
Отсюда вывод48: при решении инженерных задач в пакете MathCAD всегда проверяйте результат с позиций здравого смысла и, если есть возможность, сопоставляйте с результатами приближённых решений рассматриваемой задачи!
8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)
Умение вычислять деформации и перемещения необходимо для расчетов на жесткость, а также для определения усилий в статически неопределимых системах.
8.2.1. Перемещение точек оси бруса
Исследуем взаимное перемещение точек C и B оси бруса AD, имеющего площадь поперечного сечения F и нагруженного некоторой системой сил (рис. 8.5).
Рис. 8.5
С осью бруса совместим ось x прямоугольной системы координат xoz, начало которой разместим заделке. Положения точек C и B задаются координатами xB и xC. Произвольное поперечное сечение бруса на участке BC определяется координатой x.
Из соотношений Коши (4.4) относительная продольная деформация в направлении оси x определяется выражением
x u du ,x dx
48 Жилкин В. А. Решение задач земледельческой механики в MathCAD. Челябинск : ЧГАА, 2010. 409 с.
308
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0307x1.jpg)
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
из которого следует
du xdx . |
(8.5) |
||
Интегрируя зависимость (8.5) от xB до x: |
|
||
x |
du x |
xdx , |
|
xB |
xB |
|
|
найдем перемещения точек оси бруса относительно точки B:
u x u xB x xdx . |
(8.6) |
xB |
|
Учитывая, что в соответствии с законом Гука x |
x E , |
а напряжение x определяется выражением (8.1), зависи- |
мости (8.6) для определения перемещений в произвольном сечении бруса можно придать вид
|
|
|
||
u x u xB x |
N x |
dx |
. |
|
E x F x |
||||
|
|
|
||
xB |
|
|
|
Из (8.7) следует, что перемещение точки нию к точке B определяется выражением
u u x xC |
N x |
dx . |
|||
E x F x |
|||||
C B |
B |
|
|
||
|
|
|
xB
(8.7)
C по отноше-
(8.8)
Если в пределах |
рассматриваемого участка |
бруса |
||||
x const , то формулы (8.7) и (8.8) принимают вид |
|
|||||
u x u xB |
N x xB |
, |
(8.7*) |
|||
|
||||||
|
|
|
EF |
|
||
uC B u xB |
|
N xC xB |
. |
(8.8*) |
||
|
||||||
|
|
|
EF |
|
Из зависимостей (8.7), (8.7*), (8.8), (8.8*) следует, что перемещения произвольного сечения бруса можно вычислять и в системе координат xo (локальной системе координат), размещаемой в начале каждого участка бруса. В этом случае перечисленные формулы примут вид
309
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0308x1.jpg)
В. А. Жилкин
|
u u xB |
|
N |
|
|
|
|||||||
|
|
|
d |
, |
(8.7**) |
||||||||
E F |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
u |
u x |
|
LBC |
|
N |
d , |
(8.8**) |
|||||
|
|
|
F |
||||||||||
|
C B |
|
|
|
B |
0 E |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
u u xB |
N |
, |
|
|
(8.7***) |
|||||||
|
EF |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
uC B |
u xB |
NLBC . |
|
|
(8.8***) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
EF |
|
|
|
|
||
Если в пределах всего бруса |
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
N |
const , |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
EF |
|
|
|
|
|
|
|
|
то удлинение бруса, как это следует из формулы (8.7), равно ( xB 0 и u xB 0 ):
L |
N x |
|
NL . |
(8.9) |
|
u L L |
E x F x |
dx |
|||
EF |
|
||||
0 |
|
|
Пример 8.3. Для бруса, изображенного на рис. 8.6 а, построить эпюры N,
x , u.
Всоответствии с общим правилом построения эпюр:
–выбираем систему координат (ось z помещаем в левом крайнем сечении бруса, а ось x направляем вдоль его оси);
–изображаем расчетную схему бруса;
–разбиваем брус вдоль его оси на участки, в пределах которых одновременно должны оставаться постоянными следующие
величины:
1) выражения для внутренних усилий N, если хотят построить только эпюру N;
2) выражения для внутренних усилий N и площади F, если хо-
тят построить эпюру x ;
3) выражения для внутренних усилий N, площади F, модуля Юнга E, если хотят построить эпюру перемещений u.
310
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0309x1.jpg)
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
А. Определение опорных реакций В рассматриваемой задаче опорные реакции мож-
но было бы и не определять, если рассматривать не левые, а правые отсеченные части бруса (рис. 8.6, б).
а
б
в
г
д
е
ж
з
и
Рис. 8.6
311
В. А. Жилкин
X 0 : |
XA P1 P2 P3 0 ; |
Z 0 : |
ZA 0 ; |
MA 0 : |
MA 0 . |
Отсюда
XA P1 P2 P3 20 кН;
ZA 0 ;
MA 0 .
Итак,
XA 20 кН; ZA 0 кН; MA 0 кН.
Б. Определение внутренних усилий в поперечных сечениях бруса Учитывая только характер приложенной к брусу нагрузки, разбиваем его на три участка: 1, 2 и 3 (рис. 8.6, б). В пределах каждого участка мысленно рассекаем брус на две части, отбрасываем правую часть, а для левой записываем уравнение равновесия системы сил, приложенных к отсечен-
ной части бруса (рис. 8.6, в, г, д).
Участок 1 0 x1 1 м.
X 0 : XA N1 0 ; N1 XA 20 кН.
Участок 2 0 x2 3 м.
X 0 : XA P1 N2 0 ;
N2 XA P1 20 60 40 кН.
312
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0311x1.jpg)
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Участок 3 0 x2 3 м.
X 0 : XA P1 P2 N3 0 ;
N3 XA P1 P2 20 60 80 40 кН.
По вычисленным значениям Ni ( i 1, 2, 3 ) строим эпюру N (рис. 8.6, е).
Все ординаты эпюры на чертеже изображаются в одном, выбранном вами, масштабе!
В. Определение напряжений и перемещений Брус разбиваем вдоль его оси на пять участков, в преде-
лах которых выражения для напряжений и перемещений постоянны (рис. 8.6, ж). Для построения эпюр x и u будем использовать локальные системы координат xo . Построение эпюры u целесообразно начать от заделки, т. к. в этом сече-
нии нам известны граничные условия (при x1 0 |
и u 0 ). |
||||||||||||
Модуль упругости стали – Eст 2 1011 |
Н/м2; модуль упругости |
||||||||||||
меди – Eм 0,84 1011 Н/м2. |
|
|
|
|
|
||||||||
Участок 1 0 x |
1 м; F |
4 см2; N |
20 кН. |
|
|
||||||||
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
20 103 |
50 |
МПа; |
|
||||
|
x,1 |
1 |
4 10 4 |
|
|||||||||
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
x |
u |
|
|
N x |
0 |
|
|
20 103 x |
|
||
|
A |
|
1 1 |
|
|
1 |
|||||||
|
E |
F |
|
2 1011 4 10 4 |
|||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ст 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 10 3 x . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Перемещение точки A бруса uA равно нулю, т.к. точка |
|||||||||||||
находится в заделке. Функция u1 x1 |
|
линейным образом за- |
висит от текущей координаты x1 , и для построения ее графика (отрезка прямой линии) достаточно знать две ее ординаты.
313
В. А. Жилкин
Обычно выбирают точки в начале ( x1 0 м) и в конце участка ( x1 1 м) бруса.
Итак, в пределах первого участка
|
|
x,1 |
50 |
МПа; uA 0 |
мм; uB |
0,25 мм. |
||||||||||||||||||
Участок 2 |
0 x2 1 |
м; F2 4 см2; N2 |
40 кН. |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
40 103 |
100 |
МПа; |
||||||||||||||
|
|
x |
,2 |
2 |
4 |
10 4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
x |
2 |
|
u |
|
|
N2 x2 |
|
0,25 10 3 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
EстF2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
40 103 x2 |
|
|
0,25 10 3 |
0,50 10 3 x2. |
||||||||||||||
|
|
2 1011 4 10 4 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Функция |
|
u2 x2 |
линейным образом зависит от теку- |
||||||||||||||||||||
|
щей координаты x2 , и для построения ее графика (отрезка |
|||||||||||||||||||||||
|
прямой линии) достаточно знать две ее ординаты в начале |
|||||||||||||||||||||||
|
( x2 0 м) и в конце участка ( x2 |
|
1 м) бруса. |
|||||||||||||||||||||
|
Итак, в пределах второго участка |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
,2 |
100 МПа; u |
0 u 0,25 мм; |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
B |
|
||
|
|
u2 1 uC |
0,25 мм. |
|
||||||||||||||||||||
Участок 3 |
0 x3 1 |
м; F3 |
8 см2; N3 |
40 |
кН. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
40 103 |
50 МПа; |
|||||||||||||||
|
|
x |
,3 |
3 |
8 |
10 4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
x |
3 |
u |
|
N3 x3 |
|
0,25 10 3 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
C |
|
|
|
EмF3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 103 x3 |
|
|
|
|
|
0,25 10 3 0,595 10 3 x3 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
8 10 |
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
0,84 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
314
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Функция u3 x2 линейным образом зависит от текущей координаты x3 , и для построения ее графика (отрезка прямой линии) достаточно знать две ее ординаты в начале ( x3 0 м) и в конце участка ( x3 1 м) бруса.
Итак, в пределах третьего участка
|
|
|
|
x,3 |
50 МПа; u3 |
0 uc 0,25 мм; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
u3 1 |
uD 0,845 |
|
мм. |
|
|
|
|||||||||||||
Участок 4 |
0 x |
4 |
1 |
м; F |
|
8 см2; |
N 40 |
|
кН. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
40 103 |
50 МПа; |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
,4 |
4 |
8 10 4 |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
x |
4 |
u |
|
N4 x4 |
|
|
|
0,845 10 3 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
D |
|
|
EмF4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 103 x4 |
|
|
|
|
|
|
0,845 10 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
8 10 |
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0.84 10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
0,595 10 3 x4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Функция u4 x4 |
линейным образом зависит от теку- |
|||||||||||||||||||||
|
щей координаты x4 , и для построения ее графика (отрезка |
||||||||||||||||||||||
|
прямой линии) достаточно знать две ее ординаты в начале |
||||||||||||||||||||||
|
( x4 0 м) и в конце участка ( x4 |
|
1 м) бруса. |
|
|
||||||||||||||||||
|
Итак, в пределах четвертого участка |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
,4 |
50 |
МПа; u |
4 |
|
0 |
u 0,845 мм; |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
||
|
|
|
|
u4 1 |
uG 0,25 мм. |
|
|
|
|||||||||||||||
Участок 5 |
0 x |
5 |
1 |
м; F |
|
2,5 |
см2; N |
40 кН. |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x |
,5 |
|
N |
|
|
40 103 |
|
160 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
F |
2,5 10 4 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МПа; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
315
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0314x1.jpg)
В. А. Жилкин
u |
|
x |
5 |
u |
|
N5 x5 |
|
0,25 10 3 |
|
|
||
|
|
|
|
|||||||||
5 |
|
G |
|
EстF5 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
40 103 x |
5 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0,25 10 3 0,80 |
10 |
3 x5 . |
||
2 1011 2,5 10 4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||
Функция |
|
u5 x5 линейным образом зависит от теку- |
щей координаты x5 , и для построения ее графика (отрезка прямой линии) достаточно знать две ее ординаты в начале ( x5 0 м) и в конце участка ( x5 1 м) бруса.
Итак, в пределах четвертого участка
x,5 160 МПа; u5 0 uG 0,25 мм;
u5 1 uH 0,55 мм.
По результатам расчета строим эпюры нормальных напряжений x и перемещений поперечных сечений бруса u (рис. 8.6, з и и).
Решим эту же задачу в MathCAD. При записи значений физических и геометрических величин будем использовать систему СИ.
316
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0315x1.jpg)
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Ввиду громоздкости выражений для перемещений сечений бруса по участкам их целесообразно вычислить отдельно. Для того чтобы не набирать выражения для нормальной силы на каждом из участков используется функция
317
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0316x1.jpg)
В. А. Жилкин
N x , а так как она в пределах участка постоянна, то можно брать любое значение в пределах участка за исключением крайней правой точки, ибо оно не вычислено ( x Li , i 1, 12, 13, 14 ).
Результаты вычислений в MathCAD полностью совпадают с полученными ранее традиционным путём. Преимущество использования MathCAD состоит в том, что если выражения для вычисляемых величин записаны правильно, то арифметические ошибки отсутствуют.
318
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0317x1.jpg)
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Пример 8.4. Определить полное удлинение стального бруса, изображенного на рис. 8.7, а с учётом его собственного веса, если известны объёмный вес материала и его модуль E , а также построить эпюры N , x , u .
а |
б |
в |
г |
Рис. 8.7 |
|
|
|
Решение. Так как в дальнейшем необходимо будет построить эпюру перемещений поперечных сечений бруса u, то начало координатной системы xoy целесообразно разместить в заделке, т.к. её перемещение равно нулю, а ось x направить вдоль стержня, как показано на рис. 8.7.
Брус имеет два участка, в пределах которых вид нагрузки и геометрические характеристики поперечных сечений не изменяются.
Интенсивности распределённых нагрузок в пределах участков равны произведению удельного веса материала на объём элемента бруса единичной длины: q1 kF 1 kF ;
q2 F 1 F , т.е. q1 kq2 .
Величина опорной реакции RA определяется из условия равновесия системы сил, приложенных к брусу:
319
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0318x1.jpg)
В. А. Жилкин
X 0 : RA P q1 a q2a 0 .
Откуда
RA P q1 a q2a .
Нормальные силы в пределах участков изменяются по линейному закону и равны
N1 x RA q1 x ; N2 x RA q1 a q2 x a ,
а напряжения –
1 x N1F1 x ; 2 x N2F2x .
Перемещения поперечных сечений бруса в пределах участков (в соответствии с формулой (8.7) будут определяться квадратичными функциями
x |
N1 x |
x |
N2 x |
|
u1 x |
|
dx ; u2 x u1 a |
|
dx . |
EF |
EF |
|||
0 |
1 |
a |
2 |
|
Все дальнейшие вычисления выполним в MathCAD. Для получения аналитических выражений для полного удлинения бруса сначала используем символьный процессор, а затем для конкретного бруса построим эпюры N , x , u .
320
![](/html/2706/669/html_Es2GSvbN_O.43Wg/htmlconvd-oKHBq0319x1.jpg)
ГЛАВА8 Растяжение и сжатие
Итак, полное удлинение стального бруса определяется зависимостью
L a k 1 P Fa .
EFk
Если положить k 1 , P 0 , a L2 , то мы получим формулу для определения полного удлинения бруса длиною L , нагруженного только собственным весом.
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L2 |
LF L |
|
GL |
|
, |
(8.10) |
|
L |
2E |
2EF |
|
2EF |
|||
|
|
|
где G FL – вес стержня, приложенный в центре тяжести стержня, расположенного на расстоянии L2 от заделки, чем и объясняется наличие коэффициента 2 в знаменателе формулы.
Построим эпюры N , x , u для конкретного стержня. Геометрические, физические и силовые параметры стержня приведены в программе.
321