Рис. 2.9

Момент инерции полукольца относительно оси сим-

2.5.Изменение моментов инерции при повороте координатных осей

Пусть известны моменты инерции Jy , Jz и Jyz произвольной фигуры относительно координатных осей y и z. Повернем оси y и z на угол против часовой стрелки, считая такое направление поворота положительным, и определим моменты инерции той же фигуры относительно новых осей

координат y1 и z1 .

Предположим, что известны координаты y и z левого нижнего угла площадки dF (рис. 2.10). Определим координаты y1 и z1 этой точки в системе координат y1Oz1 , повернутой относительно системы координат yOz на угол :

95

В. А. Жилкин

y1 y cos z sin ;

z1 y sin z cos .

Рис. 2.10

По определению:

Сумма осевых моментов инерции относительно ортогональных осей есть величина постоянная.

Если относительно какой-либо оси момент инерции достигает максимума, то относительно перпендикулярной ей оси он имеет минимальное значение. Этот результат можно

96

ГЛАВА2 Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев

было предвидеть, так как сумма моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции J , который не изменяется при повороте координатных осей.

Заменяя в формулах (2.18)

им можно придать вид:

Таким образом, зная моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей и центробежный момент инерции относительно этих осей, можно найти момент инерции относительно любой оси, проходящей через ту же точку.

Перенесем первое слагаемое в правой части первой формулы (2.20) влево, возведем в квадрат левую и правую части полученной зависимости и присоединим к ней формулу (2.19), предварительно возведя в квадрат левую и правую части.

Сложим левые и правые части этих уравнений.

97

Эта окружность называется круговой диаграммой моментов инерции, или кругом Мора, и представляет собой геометри-

ческое место точек, координаты которых в осях построения определяют осевые и центробежные моменты заданной площади относительно всякой пары взаимно перпендикулярных осей y1 и z1 , проводимых через точку O . Из круга Мора следует, что существуют такие оси u и v (рис. 2.11), относительно которых осевые моменты принимают экстремальные значения:

Рис. 2.11

2.6. Главные оси и главные моменты инерции

Пусть в системе координат yOz известны моменты инерции Jy , Jz , Jxy . Найдем такие оси u и v (т.е. угол э), относительно которых осевые моменты инерции достигают экстремальных значений.

98

ГЛАВА2 Геометрические характеристики поперечных сечений брусьев

Возьмем производную по углу э от первого уравнения системы (1.18) и приравняем её нулю.

Сопоставляя выражения (2.19) и (2.21), можно заключить, что осевые моменты инерции Jy и Jz достигают экс-

тремальных значений, когда центробежный момент инерции

Jxy 0 .

Оси, относительно которых центробежный момент инер-

ции равен нулю, а осевые моменты инерции достигают экстремальных значений, называются главными осями сечения.

Главные оси обозначают цифрами 1 и 2. Моменты инерции относительно главных осей называются главными

и обозначаются J1 и J2 , причем J1 J2 . Главный момент инерции J1 есть наибольший из всех моментов инерции относительно осей, проходящих через данную точку, момент J2 – наименьший.

Углы 1 и 2 1 / 2 , определяющие соответственно положения первой и второй главных осей, вычисляются по формуле (2.22). Положительный угол 1 следует откладывать от оси y против хода часовой стрелки.

Из рис. 2.11 следует, что углы 1 и 2 можно определить графически, воспользовавшись кругом Мора. Если из точек

C и D провести прямые, параллельные координатным осям, то они пересекутся в точке E , которая называется исходной точкой. Угол 2 1гл определяется формулой (2.22). Тогда угол

GEC как опирающийся на ту же дугу GC будет равен 1гл , величина которого может быть найдена из треугольникаЕGB . Таким образом, для определения положения главных осей вместо формулы (2.22) можно применять формулы

99

удобнее пользоваться формулами, не содержащими тригонометрических функций. Получим эти зависимости.

Для определения Jmin J2 необходимо из отрезка OO1 вычесть отрезок O1F , также равный радиусу круга Мора:

и (2.20) принимают вид

100