9 Построение разверток поверхностей

^{Поверхность называется развертывающейся, если она путем изгибания может быть совмещена с плоскостью без образования складок и разрывов. Свойством развертываемости обладают многогранные поверхности и кривые линейчатые поверхности (конические и цилиндрические).}

^{Плоская фигура, полученная в результате совмещения поверхности с плоскостью, называется разверткой. Между поверхностью и ее разверткой существует взаимно-однозначное точечное соответствие (точке Ана поверхности соответствует точкаА на развертке и наоборот), обладающее следующими свойствами (рисунок 86):}

^{Рисунок 86 – Точечное соответствие развертки и поверхности}

^{1. Длина АВ линииlна поверхности равна длине соответствующей ей линииlна развертке.}

^{2. Угол αмежду кривымиmиnна поверхности равен углуαмежду соответствующими им кривымmиn на развертке}

^{3. Площадь отсека F поверхности равна площади соответствующего ему отсекаFразвертки.}

^{Из рассмотренных свойств следует:}

^{1. Прямой линии aна поверхности соответствует прямаяaна развертке}

^{2. Параллельным прямым (a‖b) на поверхности, соответствуют прямые параллельные (a‖b) на развертке.}

^{Однако, указанные свойства обратной силы не имеют, т.е. не всякой прямой на развертке соответствует прямая на поверхности. Примерами этого могут служить цилиндрическая винтовая линия, параллели поверхности вращения.}

9.1 Построение разверток многогранников

^{Развертка многогранника представляет собой плоскую фигуру, полученную при совмещении всех его граней с плоскостью. Следовательно, построение развертки многогранника сводится к построению истинных величин его граней. Выполнение этой операции связано с определением натуральных величин его ребер, которые являются сторонами многоугольников – граней, а иногда и некоторых других элементов. Многогранник условно разделяются на боковые ребра и стороны основания.}

9.1.1 Построение развертки пирамиды

^{Рисунок 87 – Развертка пирамиды}

^{Боковые грани любой пирамиды являются треугольниками. Для построения развертки пирамиды (рисунок 87) необходимо предварительно определить натуральные величины боковых ребер и сторон основания.}

^{Изображенной на рисунке пирамиды стороны основания являются горизонталями и проецируются на П1в натуральную величину. Длины боковых ребер определены построением прямоугольных треугольников, у которых одним катетом является высота пирамиды (равность высот точкиSи точекА, В, С), а другим – горизонтальная проекция соответствующего ребра.}

^{Следующая операция состоит в построении каждой боковой грани как треугольника по трем сторонам. В результате получается развертка боковой поверхности пирамиды в виде ряда примыкающих друг к другу треугольников с общей вершиной S. Присоединив к полученной фигуре основание∆АВС, получим полную развертку пирамиды. Построение на развертке точки 1, принадлежащей поверхности пирамиды, понятно из чертежа.}

9.1.2 Построение развертки призмы

^{На рисунке 88 изображена наклонная призма, которая расположена так, что ее боковые ребра параллельны П2и проецируются на нее в натуральную величину. Стороны оснований являются горизонталями и проецируются наП1без искажения. Таким образом, длины сторон каждой грани известны, однако этого еще недостаточно для построения натуральных величин боковых граней. Боковые грани являются параллелограммами, которые не могут быть построены по четырем сторонам. Поэтому помимо длины сторон параллелограмма знать еще его высоту. Для определения высот граней пересечем призму плоскостью (2)перпендикулярной к ребрам, и определим натуральную величину сечения способом замены плоскостей проекций. Стороны этого нормального сечения и будут высотами соответствующих граней. Теперь приступаем к построению развертки. На свободном поле чертежа проводим горизонтальную прямуюm и откладываем на ней отрезки(1-2)=(14-24), (2-3)=(24-34) и (3-1)=(34-14).Через точки1, 2, 3, 1проводим прямые, перпендикулярные к прямойmи откладываем на них величины боковых ребер (рисунок 88).}

^{Соединив концы построенных отрезков, получим развертку боковой поверхности призмы. Присоединив к ней оба основания, получим полную развертку призмы. Построение точки D, принадлежащей поверхности призмы, понятно из чертежа.}

^{Рисунок 88 – Развертка призмы}