8.3 Пересечение плоскостей

^{Использование универсального алгоритма для решения задач по определению линии пересечения поверхностей проследим вначале на наиболее простых примерах пересечения двух плоскостей.}

^{Задача. Построение линии пересеченияK(MN)двух плоскостей общего положенияГ(a‖b)и(m∩n)(рисунок 62).}

^{Алгоритм определения точки М:}

^{1. ∩Г,∩,‖П1;}

^{2. c(1-2)= ∩Г,d(3-4)= ∩;}

^{3. M=c∩d.}

^{Точка Nопределяется аналогично.}

^{Рисунок 62 – Построение линии пересечение двух плоскостей}

^{Решение задачи по определению линии пересечения плоскостей, значительно упрощается, если одна из плоскостей занимает проецирующее положении.}

8.4 Пересечение поверхностей проецирующей плоскостью, построение сечения

^{При пересечении поверхности плоскостью получается фигура, которую называют сечением. Построение линии пересечения осуществляется по следующей схеме:}

1. ^{Одна из проекций линии пересечения совпадает с главной вырожденной проекцией проецирующей плоскости;}

2. ^{Линию разбивают на точки (очерковые, экстремальные и ряд случайных точек);}

3. ^{Вторую проекцию линии пересечения строят по точкам к заданной поверхности;}

4. ^{Определяют видимость линии пересечения и поверхности.}

Пересечение многогранника проецирующей плоскостью

^{Линия пересечения многогранника проецирующей плоскостью представляет собой плоскую ломаную замкнутую линию, вершины которой – точки пересечения ребер, а стороны – линии пересечения граней многогранника с плоскостью.}

^{Одна проекция линии пересечения совпадает с проекцией секущей плоскости, а вторая проекция строится по точкам из условия принадлежности этих точек заданной поверхности (рисунок 63).}

^{Задача. Построить проекции линии пересечения пирамиды горизонтально-проецирующей плоскостью}

^{Рисунок 63 – Построение линии пересечения плоскости и пирамиды}

^{На рисунке 63 отмечены горизонтальные проекции опорных точек 11,21,31,41в местах пересечения ребер пирамиды секущей плоскостьюГ, то есть горизонтальная проекция линии пересечения совпала с горизонтальной проекцией плоскостиГ1.}

^{Фронтальные проекции точек линии пересечения определяем с помощью линий связи на соответствующих ребрах пирамиды.}

^{Участок 2232ломаной наП2не виден, так как он принадлежит невидимой граниASB.}

Пересечение поверхности вращения проецирующей плоскостью

^{Линия пересечения поверхности вращения проецирующей плоскостью представляет собой плоскую замкнутую кривую. Для построения этой кривой определяем точки пересечения ряда образующих поверхности с секущей плоскостью. Среди точек пересечения имеются такие, которые особенно расположены по отношению к плоскостям проекций или занимают особые места на кривой. Такие точки называются опорными, и при построении сечения эти точки в первую очередь определяются и строятся. К опорным точкам относятся: экстремальные (высшая и низшая, ближняя и дальняя, левая и правая) и очерковые. В рассматриваемых задачах очерковые точки являются и точками смены видимости.}

^{После определения опорных точек, для того чтобы точнее определить характер линии, определяется ряд случайных точек. Случайные точки – это точки, которые взяты произвольно. Чем больше найдено таких точек, тем точнее построено сечение.}

^{Рисунок 64 –Линия пересечения цилиндра с проецирующей плоскостью}

^{Задача: Построить проекции линии пересечения цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью.}

^{На рисунке 64 секущая плоскость не перпендикулярна оси цилиндра. Линия сечения – эллипс.}

^{На П2эллипс проецируется в отрезокА2В2, наП1– в окружность, совпадающую с горизонтальной проекцией цилиндра; наП3– в эллипс. ТочкаА– высшая;В– низшая. ТочкиСиDочерковые относительноП3.Также точкиСиDявляются точками смены видимости наП3. Точки1и2– произвольные.}

^{Рисунок 65 – Типы сечений конической поверхности}

^{Конус – поверхность, в которой получается пять видов различных сечений:}

^{- секущая плоскость (Г)проходит через вершину конуса, в сечении получается треугольник (все линии прямые);}

^{- секущая плоскость ()расположена под непрямым углом к основанию и не параллельна ни одной из образующих, в сечении получается эллипс;}

^{- секущая плоскость ()параллельна какой-либо одной образующей конуса, в сечении получается парабола;}

^{- секущая плоскость (Г)параллельна оси вращения конуса, в сечении получается гипербола;}

^{- секущая плоскость (Г2)параллельна основанию и в прямом конусе перпендикулярна оси, в сечении получается окружность, радиус её измеряется от оси до очерка (рисунок 65).}

^{В сечение сферической поверхности (рисунок 66) любой плоскостью всегда получается окружность.}

^{а) б)}

^{Рисунок 66 – Сечение сферической поверхности}

^{Проекции сечение могут изображаться: а) отрезком прямой и окружностью при сечении сферы плоскостями уровня (рис.66а); эллипсом и прямой сечении проецирующими плоскостями (рис.66б).}

^{На рисунке 67 выполнено построение проекций сечения сферы горизонтальной плоскостью .}

^{На рисунке 68 выполнено построение проекций сечения сферы фронтально проецирующей плоскостью .}

^{Рисунок 67-Построение сечения горизонтальной плоскостью .}

^{Рисунок 68-Построение сечения фронтально проецирующей плоскостью .}