Принадлежность линии и точки поверхности тора

^{Задача 1Задать точку на поверхности тора.}

^{Рисунок 58 – Точки на поверхности тора}

^{Построение проекций точек, принадлежащих тору, выполняется с помощью окружностей, которым точки принадлежат. На поверхности тора можно выделить два семейства окружностей. Например, точка Апринадлежит окружностиm, радиус которой измеряется от оси тора до очерка наружной поверхности, а точкаВпринадлежит окружностиn, радиус которой измеряется от оси до очерка внутренней поверхности тора (рисунок 58).}

^{Задача 2Построить недостающие проекции линий, принадлежащих поверхности тора.}

^{Рисунок 59 – Построение недостающих проекций на поверхности тора}

^{На рисунке 59 показано построение недостающих проекций А2В2иС1D1, если заданыA1B1иC2D2.}

8 Позиционные задачи понятия и определения

^{Круг задач, ответы на которые могут быть получены графическим путем, чрезвычайно широк. При этом независимо от степени сложности их решения, все они могут быть отнесены к одному из двух классов: метрические или позиционные. Это деление является условным, но, несмотря на это, распределение задач по классам в методическом отношении имеет большой смысл, так как позволяет установить единые алгоритмы решения задач, входящих в один класс.}

^{Под позиционными задачами подразумеваются задачи, решение которых позволяет получить ответ о принадлежности элемента (точки) или подмножества (линии) множеству (поверхности).}

^{Первая группа позиционных задач может быть объединена под общим названием – задачи на принадлежность (эта группа задач рассмотрена ранее).}

^{Ко второй группе относятся задачи на пересечение. Эта группа содержит три типа задач:}

^{1. пересечение линии с линией;}

^{2. пересечение поверхности с поверхностью;}

^{3. пересечение линии с поверхностью.}

^{С точки зрения единства принципа, положенного в основу решения позиционных задач, их можно не делить на две группы. Подходя к позиционным задачам с таких позиций, можно считать, что все многообразие позиционных задач может быть сведено к решению задач первой группы – задач на принадлежность. Вот почему ранее в данном пособии было обращено большое внимание на решение задач первой группы:}

^{1. принадлежность точки линии;}

^{2. принадлежность точки поверхности;}

^{3. принадлежность линии поверхности.}

8.1 Пересечение линии с линией

^{Решение задач на определение общей точки, принадлежащей как линии l, так и линииmили иначе задач по определению точки пересечения двух линий, вытекает непосредственно из инварианта ортогонального проецирования.}

^{Если K=a∩b, тоK1= a1∩b1иK2= a2∩b2.}

^{На рисунке 60 показаны две произвольные пересекающиеся линии aиb.}

^{Рисунок 60 – Пересечение линий}

8.2 Пересечение поверхности с поверхностью

^{Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат каждой из пересекающихся поверхностей. Поэтому построение линии пересечения двух поверхностей сводится к нахождению общих точек, принадлежащих обеим поверхностям.}

^{Рисунок 61 – Пересечение поверхностей}

^{Способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в следующем: заданные поверхности пересекают третьей, вспомогательной поверхностью (вид и расположение вспомогательной секущей поверхности выбирают с таким расчетом, чтобы можно было легко определить линии пересечения этой поверхности с заданными); находят линии, по которым эта вспомогательная секущая поверхность пересекает каждую из заданных поверхностей. Далее отмечают точку (точки), в которой пересекаются полученные линии пересечения (рисунок 61).}

^{Построив отмеченные операции nраз, получим множество точек.}

^{Линия l, соединяющая эти точки, является искомой линией пересечения поверхностей.}

^{В таблице 4, дано традиционное для начертательной геометрии словесное описание алгоритма (слева) и соответствующая ему символическая запись на геометрическом языке (справа) для решения задач на пересечение поверхностей}

^.

^{Таблица 4 – Алгоритм решения задач на пересечение поверхностей}

Словесное описание решение задачи	Символическая запись
1. Вводим вспомогательную секущую поверхность; 2. Определяем линии пересечения вспомогательной поверхности с каждой из заданных поверхностей; 3. Находим общие точки пересекающихся поверхностей. Соединяем эти точки плавной линией; 4. Определяем видимость.	1. Вводим Ө 2. Определяем: m= Ө∩Г; n = Ө∩Ф 3.Находим к=m∩n

^{Повторяя многократно последовательность операции, обозначенных в приведенном алгоритме, можно получить любое число точек, принадлежащих искомой линии пересечения заданных поверхностей.}