33. Основные комбинаторные операции, сочетания и размещения (с возвращением и без возвращения элементов).

Определение. Выборка – это простейшая комбинаторная операция, применяемая к заданному множеству и состоящая в том, что из этого множества выбирается произвольный элемент. Если выбранный элемент удаляют из исходного множества, то такую операцию называют выборкой без возвращения. Если же элемент остается в исходном множестве, то такая выборка называется выборкой с возвращением.

Определение. Повторная выборка k элементов из n-элементного множества без возвращения и без упорядочения называется сочетанием из n по k.

Определение. Повторная выборка k элементов из n-элементного множества без возвращения, но с упорядочением, называется размещением из n по k.

Утверждение. Число различных сочетаний из n по k обозначается через ,.

Утверждение. Число различных размещений из n по k обозначается через ,

Утверждение. Число различных размещений с повторениями изn элементов по k, где k = 0, 1, 2,…, равно .

Утверждение. Число различных сочетаний с повторениями изn элементов по k, где k=0,1,2,…, равно .

Выборки из nпоk	Без возвращения (0 ≤ k ≤ n)	С возвращением
С упорядочением	Размещения	Размещения с повторениями
Без упорядочения	Сочетания	Сочетания с повторениями

34. Комбинаторные принципы сложения, умножения, дополнения, включения-исключения.

Комбинаторный принцип сложения.Суть этого метода в следующем: пусть требуется вычислить количество элементов в некотором множестве В. Если данное множество можно разбить на несколько непересекающихся подмножеств В₁, В₂, …, В_mи найти их мощности, то число элементов во множестве В можно получить сложением мощностей подмножеств В₁, В₂, …, В_m, т.е..

Комбинаторный принцип умножения. Пусть |A| = p, |B| = q, тогда существует ровно различных пар, в которых первый элемент взят из множества А, а второй элемент – из множества В.

Комбинаторный принцип включения – исключенияявляется обобщением принципа сложения. Он применяется даже тогда, когда принцип сложения не работает, а именно, если исходное множество является объединением двух и более пересекающихся подмножеств. В самом простом виде принцип включения – исключения основывается на очевидном соотношении. Также имеет место равенство:

35. Биномиальные коэффициенты, их свойства, бином Ньютона.

Комбинаторные числа сочетаний , гдеk = 0,1,2,…,nназывают биномиальными коэффициентами, поскольку они связаны с биномом Ньютона (x+y)ⁿ. Для любого натуральногоnвыполняется равенство:

.

Пример. Требуется вычислить коэффициент при а⁹после раскрытия скобок в выражении (4а – 5)¹¹.

В формуле положим . Тогда получим. Интересующее нас слагаемое, содержащее а⁹, получается приk= 2 и имеет вид. Отсюда следует, что искомый коэффициент равен.

Биномиальные коэффициенты обладают многими свойствами, среди которых наиболее важными являются следующие:

,

,

,

.

36. Треугольник Паскаля, полиномиальная формула.

Комбинаторные числа сочетаний , гдеk = 0,1,2,…,nназывают биномиальными коэффициентами, поскольку они связаны с биномом Ньютона (x+y)ⁿ. Для любого натуральногоnвыполняется равенство:

.

Треугольник Паскаля.

На основе свойства из биномиальных коэффициентов построен треугольник Паскаля.

Этот треугольник состоит из бесконечного числа горизонтальных рядов, которые для удобства будем нумеровать числами n= 0, 1, 2, 3 и т.д., а элементы каждого ряда - слева направо числамиk= 0, 1, 2, …,n. Тогда правило построения этого треугольника Паскаля можно сформулировать так: начальный и конечный элементы каждого ряда равны 1, аk-й элементn-го ряда приk= 1, 2, …,n– 1 и приn= 2, 3, 4 и т.д. равен сумме (k– 1)-го иk-го элемента (n– 1)-го ряда. Тогда согласно свойству, еслиk= 0, 1, 2, …,n, аn= 0, 1, 2, 3 и т.д., тоk-й элементn-го ряда равен. Из формулывытекает свойство симметричности треугольника Паскаля относительно вертикальной прямой, проходящей через его вершину. Эта симметричность выражается в том, что совпадают элементы, стоящие в одном ряду на одинаковом расстоянии от концов ряда. Из формулыследует, что сумма всех элементовn-го ряда равна 2ⁿ, а изполучается, что в каждом ряду суммы элементов, стоящих на четных и нечетных местах, равны между собой.

Полиномиальная формула.

Обобщением биномиальной формулы является полиномиальная формула

.

Каждый числовой коэффициент называется полиномиальным коэффициентом. Он равен числу различных вариантов упорядоченного разбиенияn-элементного множества наkнепересекающихся подмножеств мощностиn₁,n₂,n₃,…,n_k. Приk= 2 равенство обращается в формулу для бинома Ньютона.

Пример. Требуется вычислить коэффициент при с¹⁷после раскрытия скобок в выражении (1+2с – с³)¹⁰.

После раскрытия скобок в выражении (1+2с − с³)¹⁰получитсяразличных слагаемых, причем максимальный показатель степени переменной с будет равен 30. В формуле (40) положим х₁= 1, х₂= 2с, х₃ = − с³,n= 10. Получим равенство, где суммирование в правой части ведется по всем наборам целых неотрицательных чисел (n₁,n₂,n ₃) таких, чтоn₁+n₂ +n ₃ = 10. Очевидно, что каждое слагаемое в правой части содержит множитель вида. Поскольку нас интересует коэффициент при с¹⁷, то необходимо рассмотреть все целочисленные неотрицательные решения уравненияn₂ + 3n₃ = 17, удовлетворяющие дополнительному условию. Таких решений всего два:n₂ = 2,n₃ = 5 иn₂ = 5,n₃ = 4. Соответствующие значенияn₁ =  3 иn₁ = 1, а числовые коэффициенты при с¹⁷будут равны соответственнои. Следовательно, искомый коэффициент равен 40320 – 10080 = 30240.