Основные характеристики

Пусть нечёткое множество с элементами из универсального множества и множеством принадлежностей . Тогда

• Носителем (суппортом) нечёткого множества называется множество .

• Величина

называется высотой нечёткого множества . Нечёткое множество нормально, если его высота равна . Если высота строго меньше , нечёткое множество называется субнормальным.

• Нечёткое множество пусто, если . Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле:

.

• Нечёткое множество унимодально, если только на одном из .

• Элементы , для которых , называются точками перехода нечёткого множества .

25. Методы построения функций принадлежности нечетких множеств. Операции над нечеткими множествами.

Прямые методы (наиболее известны методы относительных частот, параметрический, интервальный) целесообразно использовать для измеримых свойств, признаков и атрибутов, таких как скорость, время, температура, давление и т.п. При использовании прямых методов зачастую не требуется абсолютно точного поточечного задания μ A x . Как правило, бывает достаточно зафиксировать вид функции принадлежности и характерные точки, по которым дискретное представление функции принадлежности аппроксимируется непрерывным аналогом – наиболее подходящей типовой функцией принадлежности.

Косвенные методы (наиболее известен метод парных сравнений) используются в тех случаях, когда отсутствуют измеримые свойства объектов в рассматриваемой предметной области. В силу специфики рассматриваемых задач при построении нечетких систем автоматического управления, как правило, применяются прямые методы. В свою очередь, в зависимости от числа привлеченных к опросу экспертов как прямые, так и косвенные методы делятся на одиночные и групповые. Наиболее грубую оценку характеристических точек функции принадлежности можно получить путем опроса одного эксперта, который просто задает для каждого значения x ∈ X соответствующее значение μ A x .

При множестве принадлежностей 

ОПЕРАЦИИ:

• Пересечением нечётких множеств иназывается наибольшее нечёткое подмножество, содержащееся одновременно ви:

.

• Произведением нечётких множеств иназывается нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

.

• Объединением нечётких множеств иназывается наименьшее нечёткое подмножество, содержащее элементыили:

.

• Суммой нечётких множеств иназывается нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

.

• Отрицанием множества называется множествос функцией принадлежности:

,

для каждого .

26. Алгебраические операции над нечеткими множествами.

Алгебраическое произведение А иВобозначается A·В и опре­деляется так: 

Алгебраическая суммаэтих множеств обозначается А+ В и определяется так: 

Для операций {-, +} выполняются свойства:

Не выполняются:

Замечание.При совместном использовании операций { U, ⋂, + , • } выполняются свойства:

На основе операции алгебраического произведения определя­ется операция возведения в степень α нечеткого множества А, где α— положительное число. Нечеткое множество А^αопреде­ляется функцией принадлежности μ^α_A= μ^α_A(x). Частным случаем возведения в степень являются:

1)          CON(А) = А² — операция концентрирования (уплотне­ния);

2)          DIL(А) = А^0,5 — операция растяжения,

которые используются при работе с лингвистическими неопреде­ленностями (рис. 1.4).

Рис. 1.4. Иллюстрация к понятию операций концентрирования (уплотнения) и растяжения

Умножение на число. Если α — положительное число, такое, что , то нечеткое множество αА имеет функцию принадлежности:

μ_αА(х) = αμ_A(x).

Выпуклая комбинация нечетких множеств.Пусть A₁, А₂,..., А_n— нечеткие множества универсального множества Е, aω₁, ω₂, …, ω_n— неотрицательные числа, сумма которых равна 1.

Выпуклой комбинацией A₁, А₂, ..., А_nназывается нечеткое множество А с функцией принадлежности:

Декартово(прямое) произведение нечетких множеств. Пусть A₁, А₂, ..., А_n— нечеткие подмножества универсальных множеств Е₁, Е₂,…, Е_nсоответственно. Декартово, или прямое произведение А = А₁ x А₂ x... x А_n является нечетким подмно­жеством множества Е = Е₁x Е₂ x... x Е_n с функцией принад­лежности:

Оператор увеличения нечеткостииспользуется для преобра­зования четких множеств в нечеткие и для увеличения нечеткости нечеткого множества.

Пусть А — нечеткое множество, Е— универсальное множество и для всех хϵЕопределены нечеткие множества К(х).Совокуп­ность всех К(х)называется ядром оператора увеличения нечетко­сти Ф. Результатом действия оператора Ф на нечеткое множество А является нечеткое множество вида

где μ_А(х)К(х) — произведение числа на нечеткое множество.

Пример. Пусть

Е = {1,2,3,4};  А = 0,8/1+ 0,6/2+ 0/3+ 0/4; К(1)=1/1 + 0,4/2;

К(2) = 1/2 + 0,4/1 + 0,4/3; К(3) = 1/3 + 0,5/4; К(4)= 1/4.

Тогда

Четкое множество α-уровня(или уровня α). Множеством α-уровня нечеткого множества Ауниверсального множества Е на­зывается четкое подмножество А_α универсального множества Е,определяемое в виде

А_α = { x/μ_A(x) ≥ α },

где α ≤ 1.

Пример. Пусть А = 0,2/x₁+ 0/x₂+ 0,5/x₃+ 1/x₄, тогда A_0,3= { x₃, x₄ }, A_0,7 = { х₄ }.

Достаточно очевидное свойство: если α₁ ≥ 2, то А_α1 ≤ А_α2.