Задачи, решаемые с помощью аппроксимации

1. Сжатие информации

Степень сжатия определяется коэффициентом сжатия:

(51)

‑число бит, необходимое для хранения исходной информации,

‑число бит, необходимое для хранения аппроксимированной информации.

2. Восстановление функциональной зависимости

Принцип метода – получение аналитического выражения, по которому можно найти определенные значения.

1.  ‑интерполяция – отыскание промежуточных значений величины по некоторым известным ее значениям.

2.  ‑экстраполяция – отыскание значения вне диапазона известных значений.

Рис. 16

По 2-м точкам интерполяцию и экстраполяцию делать не рекомендуется. Рекомендуется использовать все множество известных значений.

3. Сглаживание экспериментальных данных

Рис. 17

Задачи аппроксимации решаются для описания динамических процессов, в которых параметр меняется в зависимости либо от времени, либо от другого параметра.

Для применения приемов статистики к динамическим процессам необходимо максимально точно повторить эксперимент несколько раз.

Для получения минимальной погрешности используются следующие методы

Метод наименьших квадратов

Один из наилучших методов аппроксимации - это способ (метод) наименьших квадратов, который был развит усилиями Лежандра и Гаусса более 150 лет назад.

Метод наименьших квадратов позволяет получать наилучшую функциональную зависимость по набору имеющихся точек (наилучшую означает, что сумма квадратов отклонений минимальна).

В результате эксперимента получается набор значений функций (у₁, у₂, ..., у_n) для значений аргумента (х₁, х₂, ..., х_n).

Если соединить последовательно точки у₁, у₂, ..., у_n ломаной линией, она не является графическим изображением функции у=f(х), так как при повторении данной серии опытов мы получим ломаную линию, отличную от первой. Значит, измеренные значения у будут отклоняться от истинной кривой у=f(х) вследствие статистического разброса. Задача состоит в том, чтобы аппроксимировать экспериментальные данные гладкой (не ломаной) кривой, которая проходила бы как можно ближе к истинной зависимости у= f(х).

Теория вероятности показывает, что наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной. Метод нахождения кривой, соответствующей этому условию, и называется методом наименьших квадратов (МНК). Фактически это условие минимума соответствует предположению, что разброс точек у_i относительно кривой у=f(х) подчиняется закону нормального распределения.

Требуется установить зависимость между двумя величинами х и y.

Будем рассматриватьx и y как прямоугольные координаты точек на плоскости.

Предположим, что точки с соответствующими координатами почти лежат на прямой линии (рис.1) вида

y=А+Вx, (52)

где В=tg.

N – число точек на плоскости (число измерений).

- сумма квадратов ошибок (53)

(54)

(55)

(56)

(57)

Для расчета погрешности можно воспользоваться следующим выражением:

‑относительная погрешность (58)