Лекция № 10 Определение минимального количества измерений

Для проведения опытов с получением результатов с заданной точностью и достоверностью необходимо знать то количество измерений, при котором заданная точность и достоверность будут обеспечены. В связи с этим одной из первоочередных задач при статических методах оценки является установление минимального числа измерений, достаточных для получения результатов с заданной точностью и достоверностью. Задача сводится к установлению минимального объёма выборки (числа измерений) N_minпри заданных значениях доверительного интервала 2и доверительной вероятности. При выполнении измерений необходимо знать их точность:

(12)

где - средняя ошибка - среднеарифметическое значение среднеквадратичного отклонения.

Доверительный интервал для ошибки измерения определяется по формуле (13)

С помощью легко определить доверительную вероятность ошибки измерений.

В исследованиях часто по заданной точности и доверительной вероятности измерения определяют минимальное количество измерений, гарантирующих требуемые значенияи.

(14)

Минимальное количество измерений: (15)

Этапы определения минимального количества распределений для получения определенного числа измерений следующие.^*

1. Проводится предварительный эксперимент с количеством измерений , которое составляет в зависимости от трудоемкости опыта от 20 до 50.

2. Вычисляется среднеквадратичное отклонение и среднее значение.

3. В соответствии с поставленными задачами эксперимента устанавливается требуемая точность измерений , которая не должна превышать погрешности прибора.

4. Задается доверительная вероятность, по ней определяется гарантийный коэффициент .

5. Определяется минимальное количество измерений.

Интеграл ошибок

Рассмотрим нормальное распределение в вероятностном представлении. Зададим некий доверительный интервал. Найдем вероятность нахождения истинного значения в доверительном интервале, равном одному СКО.

(27)

Заменим:

(28)

Перейдем к более широкому доверительному интервалу, равному

Данный интеграл вычисляется численным методом.

Таблица 2  Зависимость

	0,0	0,25	0,5	1,0	1,25	1,5	2,0	2,5	3,0	3,5	4,0
	0,0	0,2	0,38	0,68	0,79	0,87	0,954	0,988	0,997	0,995	0,9999

Рис. 12  Вероятность P (в пределах tσ) того, что результат измерения x будет лежать в пределах t стандартных отклонений от истинного значения x=X.

Как можно заметить, вероятность того, что результат измерения окажется в пределах одного стандартного отклонения от истинного результата, составляет 68%. Если мы будем рассматривать стандартное отклонение как нашу погрешность в измерениях (т.е. запишем x = x_наил±δx и примем δx = σ), то мы можем быть на 68% уверены, что наш результат будет в пределах σ от правильного результата.

На рисунке 12 видно, что вероятность P (в пределах tσ) быстро стремится к 100% с увеличением t. Вероятность того, что результат измерения окажется вне одного стандартного отклонения, довольно значительна (32%), вероятность того, что он будет лежать вне 2σ – много меньше (4,6%), а того, что он будет лежать за пределами 3σ, исключительно мала (0,3%).

Число 68% – это просто доверительный уровень, связанный со стандартным отклонением σ. Альтернативой стандартному отклонению может служить так называемая вероятная ошибка (ВО), которая определяется как такое отклонение, когда результат измерения с вероятностью 50% окажется внутри интервала XВО. Из рисунка 12 можно увидеть (для результатов измерений, которые распределены нормально), что вероятная ошибка равна ВО0,67.