Лекция № 9 Нормальное распределение

Нормальное распределение описывается функцией Гаусса. Является частным случаем предельного распределения.

определяет ширину распределения.

Нормировка функции Гаусса

1. по числу выпадений N(x):

2. в вероятностном представлении:

М – некоторый нормирующий множитель, определяемый из условия нормировки.

→М

f(x) – функция Гаусса, определяет вероятность попасть в интервал (x,x+dx)

Заменим ,

(из условия нормировки)

- нормальное распределение в вероятностном представлении

Интервальная оценка с помощью доверительной вероятности

Для большой выборки и нормального закона распределения общей оценочной характеристикой измерения являются дисперсия и коэффициент вариации:

Дисперсия распределения (D)– среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее среднего значения:

Простая дисперсия:

Улучшенная дисперсия: Единица берется из условия, что при большом числе измерений некоторое, т.е. оно не вносит вклад в дисперсию.

Среднеквадратичное отклонение:

Коэффициент вариации:

Дисперсия() характеризует однородность измерений; чем больше величина, тем больше разброс измерений; измеряется в квадратных единицах измеряемой величины. Среднеквадратичное отклонение; измеряется в единицах измеряемой величины:

Коэффициент вариации() - характеризует изменчивость; чем больше, тем больше изменчивость измерений относительно средних значений; безразмерная величина.оценивает также разброс при оценке нескольких выборок. Безразмерная величина.

Доверительный интервал– такой интервал значений, в который попадает истинное значениес заданной вероятностью.

Доверительная вероятность(достоверность) – это вероятность того, что истинное значение попадает в данный доверительный интервал, т.е. в зону. Эта величина определяется в долях единицы или процентах.

Чем шире интервал, тем больше доверительная вероятность.

Доверительная вероятность описывается выражением

где - интегральная функция Лапласа, определяемая выражением

Аргументом этой функции является гарантийный коэффициент ‑ отношение ширины доверительного интервалак средне квадратичному отклонению

Гарантийный коэффициент, определяется по таблицам.

Таблица 1.Зависимость

0,9999	4
0,9756	2,25
0,9545	2,0
0,911	1,65

Функцию ииспользуют при количестве измерений(генеральная совокупность). При(выборочная совокупность) используется коэффициент Стьюдента.

, (11)

Диапазон измеряемых значений ограничен сверху максимумом диапазона измерительного прибора, снизу – пределом чувствительности измерительного прибора.

Предел чувствительности– минимальное значение, на которое должна измениться измеряемая величина, чтобы прибор изменил показание на младший разряд.

Значение называетсяуровнем значимости– определяет количество значений, выходящих за доверительный интервал:.

Статистическая теория применима только для обработки данных, когда есть подчинение закону нормального распределения.