29

обойтись небольшим количеством формул, как правило, не удастся. Вместе с тем аналитическое описание (описание посредством формул) внешних обводов изделия, то есть задание в трехмерном пространстве двумерной поверхности, должно быть достаточно экономным. Это особенно важно, когда речь идет об обработке изделий на станках с числовым программным управлением. Обычно поступают следующим образом: задают координаты сравнительно небольшого числа опорных точек, лежащих на искомой поверхности, а через эти точки проводят плавные поверхности. Именно так поступает конструктор при проектировании кузова автомобиля (ясно, что на этой стадии процесс проектирования сложного объекта содержит явную неформальную составляющую). На следующем шаге конструктор должен получить аналитическое представление для придуманных кривых или поверхностей. Вот для таких задач и используются сплайны.

Средства компьютерной графики, особенно визуализация, существенно помогают при проектировании, показывая конструктору, что может получиться в результате, и давая ему многовариантную возможность сравнить это с тем, что сложилось у него в голове. Достаточно типичной является следующая задача: по заданному массиву точек в пространстве построить поверхность либо проходящую через все эти точки (задача интерполяции), либо проходящую вблизи от этих точек (задача сглаживания).

Сглаживающая поверхность строится относительно просто, в виде так называемого тензорного произведения. Так принято называть поверхности, описываемые параметрическими уравнениями вида

r(u,v)= i= 0 m j=0n ai(u)bj(v)Vij

Рассмотрим элементарную бикубическую поверхность Безье. Параметрические уравнения фрагмента этой поверхности имеют следующий вид:

r(u, v)= i= 0 0<=u<=1; 0<=v<=1

Элементарная бикубическая поверхность Безье обладает следующими свойствами: лежит в выпуклой оболочке порождающих ее точек; является гладкой поверхностью;

упираясь в точки Vоо, Vоз, Vзо, Vзз, касается исходящих из них отрезков контрольного графа заданного набора.

Более подробную информацию о сплайновых поверхностях Вы можете найти в книгах, целиком посвященных сплайнам и сплайновым поверхностям.

3. Преобразование координат

При работе с геометрическими объектами часто изменять их положение в пространстве, и преобразовывать размеры. Это требуется:

При вводе/выводе координат и размеров в UCS;

При построении изображений объекта с различных точек зрения;

При построении изображений объекта в различных масштабах;

При построении геометрически подобных объектов

итак далее.

Для выполнения таких преобразований объекта выполняются соответствующие преобразования координат всех точек его характеризующих.

3.1.1Однородные системы координат

Для реализации преобразований координат точек в компьютерных программах удобно использовать однородные системы координат и представлять точку не тремя, а четырьмя координатами. В этом случае все стандартные преобразования представляются в виде матрицы размером 4x4, а преобразование сводится к умножению этой матрицы на радиус-вектор точки.

30

Однородными системами координат (называемые также пропорциональными системами координат) называются такие системы координат, в которых положение точки определяется отношением координат друг к другу.

Таким образом, отдельная координата не имеет непосредственного значения для определения положения точки. Примечательно, что если все координаты точки умножить на одну и ту же величину, то новые координаты будут указывать на туже самую точку, то есть умножение всех однородных координат точки на одну и туже величину не изменяет положение точки в пространстве.

Пусть в пространстве с декартовой системой координат OXYZ имеется точка P, ко-

z

P в трехмерном пространстве. В геометрических САПР используется представление точек в однородной 4-х мерной системе координат, которое получают умножением трех декартовых координат точки на одно и тоже число и добавлением этого числа в качестве четвертой координаты.

В такой однородной системе координат радиус-вектор r записывается так:

Использование числа w<1, позволяет оперировать со значениями координат x, y, z выходящими за диапазон представления чисел процессора. Естественно, теряя точность. Например, при w=0.5 и декартовых координатах точки (60000, 20000, 10000), ее однородные координаты будут (30000, 10000, 5000, 0.5). Такие представления широко использовались на 16-ти разрядных компьютерах без арифметических сопроцессоров.

В программном обеспечении, ориентированном на современные компьютеры, с длиной слова процессора 32 бита и более, обычно, принимают w=1.

3.1.2Матрицы преобразований

Преобразование координат x1, x2, … есть множество правил или соотношений, ставящих каждой точке (x1, x2, …) в соответствие новый набор координат.

Обозначим через T квадратную матрицу, имеющую такую же размерность, что и вектор r . Тогда результатом умножения матрицы на вектор будет так же вектор r ' . В декартовых координатах: