1. Введение

Одним из возможных способов анализа электромагнитных явлений в каком-либо устройстве является обращение к его математической модели в виде электрической цепи. Напряжение и ток каждого сосредоточенногоэлемента цепи в общем случае являются вещественными функциями лишь одной независимой переменной – относительного времениt. Цепи с сосредоточенными элементами (модели Кирхгофа) успешно отражают электромагнитные процессы в системах, размеры которыхl₁,l₂, l₃пренебрежимо малы в сравнении с наименьшей значимой длиной волны:

(l₁,l₂,l₃)_min=v_ф/f_max. (0)

Здесь – фазовая скорость электромагнитной волны в безграничной среде с проницаемостями _a и_aвокруг исследуемой системы, аf_max– верхняя граница значимого частотного спектра воздействия. Как известно, математической основой анализа процессов в любой цепи с конечным числом сосредоточенных элементов является совокупность динамических характеристик всех элементов цепи и полная система её топологических уравнений, преобразуемая в систему обыкновенных дифференциальных уравнений состояния цепи. При этом выражения переменных состояния цепи находятся однозначно, если известны их начальные значения.

При теоретическом исследовании электромагнитных процессов в устройствах, для которых неравенства (1) не соблюдаются, применяют полевые модели (модели Максвелла), анализируемые методами теории электромагнитного поля (электродинамики).

Однако в ряде случаев все необходимые для практики сведения об электромагнитных свойствах исследуемых устройств можно получить и с помощью теории цепей, расширив соответствующим образом её элементную базу. Например, отрезки двухпроводных и коаксиальных линий, для которых выполняются соотношения:

(l₁,l₂)_min=v_ф/f_max

при l₃ > _max илиl₃  _max ,

(где , аf_min - низшая граница значимого частотного спектра воздействия) в теории электрических цепей удовлетворительно моделируют одномернымраспределённым четырёхполюсным элементом – отрезком двухпроводной линии передачи (модель Кирхгофа-Томсона).

В дальнейшем ограничимся анализом процессов в цепях, содержащих отрезки только инвариантных во времени однородных линий. Последние служат моделями линий передач, у которых в продольном направлении неизменны и не зависят от времени конфигурация и значения электромагнитных параметров проводников и разделяющих их диэлектриков. В противном случае для моделирования используются отрезки неоднородных линий. На схемах электрических цепей отрезок однородной линии передачи изображают двумя параллельными отрезками прямых с обязательной фиксацией условно положительных направлений напряжения и тока его произвольного сечения (Рис. 1). Электрические цепи, содержащие хотя бы один распределённый элемент – отрезок линии – называют цепями с распределёнными элементами.

2. Динамические погонные характеристики линии (телеграфные уравнения)

Рис. 1

Отрезок однородной линии, как и всякий сосредоточенный элемент электрической цепи, определяется своими динамическими характеристиками, под которыми здесь понимают соотношения, связывающие напряжение и ток любого сечения отрезка в любой момент времени.

Выберем поэтому сначала координатную ось x, направив её по положительному направлению потока мощности, и отметим на ней произвольно начало отсчёта координаты сечения отрезка линии (Рис. 1).

Столь же произвольно зададимся началом отсчёта относительного времени t. И, наконец, обозначим для краткости черезu = u(x,t) иi = i(x,t)мгновенные значения напряжения и тока в сечении линии с координатойx в момент времениt.

Безупречный вывод динамических характеристик однородной линии возможен лишь на основе теории Максвелла ¹. Поэтому здесь приведём их без вывода и определим однородную линию системой двух дуальных линейных уравнений в частных производных первого порядка:

(0)

Здесь R₀, L₀, G₀ иC₀–независимые, так называемыепервичныеилипогонные, то есть приходящиеся на единицу длины, параметры линии. Приведённая система однородных линейных уравнений, представляющаядинамические погонные характеристики однородной линии, впервые была получена и исследована при теоретическом изучении электромагнитных явлений в линиях дальней телеграфной связи. Поэтому её традиционно называют системой телеграфных уравнений. Следует отметить, однако, что результаты анализа этих уравнений с помощью известной системы аналогий можно с успехом перенести и на другие виды цепей.

Умножая первое уравнение системы на i, второе – наu и складывая, имеем

Проинтегрируем последнее равенство по x в пределах отx₁доx₂:

Величина p(x,t) = uiопределяет мгновенную мощность как скорость переноса энергии в положительном направлении осиxчерез сечение линии с координатойxв момент времениt.

Последнее равенство имеет простой физический смысл: сумма скоростей необратимого преобразования энергии и изменения электрической и магнитной энергии участка линии (x₁, x₂)в момент времениtравна разности мгновенных значений мощности в начале и в конце рассматриваемого участка в тот же момент времени. Оно представляет собой частный случай известной в электродинамике теоремы Пойнтинга: поток мощности выражается здесь произведением напряжения на ток.

Основная задача анализа процессов в однородной линии или её отрезке заключается в том, чтобы путём решения системы (2) в области определения x найти распределения напряжения и тока вдоль линии или её отрезка в любой момент времениt  0. Задача, однако, состоит не в том, чтобы определить бесконечное множество различных выражений мгновенных значений напряжения u = u(x,t) и тока i = i(x,t), удовлетворяющих системе телеграфных уравнений, а в том, чтобы найти такие функции, которые описывают напряжение и ток отрезка конкретной линии – распределённого компонента заданной цепи. А для этого надо поставить ряд дополнительных ограничений, выражаемых начальными и граничными (краевыми) условиями.

Начальные условия описывают распределение напряжения и тока вдоль линии или её отрезка накануне коммутации (t = 0-) и играют в данном случае такую же роль, что и начальные условия в цепях с сосредоточенными элементами, с той лишь разницей, что u(x,t) и i(x,t)зависят, вообще говоря, от некоторых функцийu(x,0-) и i(x,0-), тогда какu(t) иi(t)любого элемента цепи с сосредоточенными элементами зависят от определённого числа начальных значений токов катушек, напряжений конденсаторов и задающих напряжений и токов.

Иной характер имеют граничные (краевые) условия. Они устанавливают функциональную связь между напряжением и током либо их выражения или значения в начале и в конце отрезка линии в любой момент времени t  0. Граничные условия тесно связаны с доказательством теоремы существования и единственности решения телеграфных уравнений.

В результате достаточно длительного воздействия источников постоянного или периодически изменяющегося напряжения или тока отрезок линии придёт к установившемуся режиму, в котором напряжение и ток его любого сечения либо неизменны во времени (стационарное состояние), либо изменяются периодически. Изменение граничных условий отрезка линии вызовет изменение установившихся распределений напряжения и тока. Однако переход к новому установившемуся режиму, характеризуемому функциями u_пр(x,t) иi_пр(x,t), произойдёт не сразу. В отрезке линии возникнут свободные колебания напряжения и тока, которые описываются функциямиu_св(x,t) иi_св(x,t). Как и в теории цепей с сосредоточенными элементами, будем считать, что во время переходного процесса напряжение и ток любого сечения отрезка линии получается сложением установившихся и свободных колебаний

,.

Функции принуждённых составляющих u_пр(x,t)иi_пр(x,t)выберем так, чтобы они удовлетворяли системе телеграфных уравнений и заданным граничным условиям. Тогда вторые составляющие – функцииu_св(x,t)иi_св(x,t)– должны также удовлетворять телеграфным уравнениям и граничным условиям отрезка линии в цепи, “освобождённой” от активных элементов. Постоянные интегрирования могут быть вычислены из начальных условий после суммирования обеих составляющих напряжения и тока.

Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений, их аналитическое решение для произвольных граничных условий отсутствует.

В этой главе исследуются лишь установившиеся процессы в отрезках однородной линии. Поэтому в дальнейшем для упрощения записи индекс “пр” в обозначениях мгновенных, амплитудных и действующих значений напряжения и тока будет опущен.

Задача существенно облегчается при анализе гармоническогопроцесса в отрезке линии, поскольку в этом случае известен закон изменения напряжения и тока во времени в произвольном сечении отрезка и остаётся лишь найти распределение их амплитуд и начальных фаз вдоль отрезка линии.