- •Введение
- •Динамические погонные характеристики линии (телеграфные уравнения)
- •Комплексные погонные характеристики линии (комплексные телеграфные уравнения)
- •Комплексные характеристики полубесконечного отрезка однородной линии
- •Общее решение комплексных телеграфных уравнений
- •Определение граничных значений напряжения и тока
- •Волны напряжения и тока
- •Комплексные Характеристики конечного отрезка однородной линии
- •Общее решение комплексных телеграфных уравнений
- •Определение граничных значений напряжения и тока отрезка линии
- •Распределения действующих значений напряжения и тока
- •Распределения составляющих сопротивления и проводимости
- •Анализ стационарного состояния отрезка линии с потерями
- •Анализ гармонического процесса в отрезке линии без потерь
- •Комплексные характеристики отрезков линии без потерь
- •Гармонические волны напряжения и тока
- •Распределения действующих значений напряжения и тока
- •Распределения составляющих сопротивления и проводимости
- •Применение отрезков линии в качестве элементов согласующих устройств
- •Комплексные частотные характеристики отрезка однородной линии
- •Частотные характеристики полубесконечного отрезка линии
- •Частотные характеристики конечного отрезка линии
Комплексные погонные характеристики линии (комплексные телеграфные уравнения)
При возбуждении отрезка линии источником гармонического напряжения или тока с частотой установившиеся ток и напряжение его любого сечения изменяются также по гармоническому закону с тем же значением частоты. В этом случае, как и в теории цепей с сосредоточенными элементами, все расчёты значительно упрощаются, если применить комплексный анализ. Согласно правилам комплексного анализа вещественным гармоническим функциям напряжения и тока можно однозначно поставить в соответствие комплексные экспоненциальные функции – комплексы мгновенных значений этих величин:
, ,
над которыми и совершаются последующие линейные вещественные математические операции. Здесь U = U(x) и I = I(x) – комплексные функции вещественного аргумента x,называемые комплексами действующих значений напряжения и тока в сечении линии с координатойx.
Мгновенные значения этих величин вычисляются известным образом:
, , (0)
либо
, , (0)
в зависимости от вида вещественной гармонической функции времени, описывающей воздействие.
Рис. 2
, (0)
, (0)
представляющих собой комплексныепогонныехарактеристики (комплексные телеграфные уравнения)однородной линии(Рис. 2). Введённые здесь обозначения и–это так называемые комплексные погонные параметры: продольное сопротивление и поперечная проводимость единицы длины однородной линии.
Преобразуем последнюю систему двух уравнений первого порядка к одному дифференциальному уравнению второго порядка относительно U=U(x)или I = I(x).Исключим, например, ток I = I(x).Дифференцируя первое уравнение и подставляя значениеdI(x)/dx из второго, найдём:
(0)
Точно такое же уравнение можно получить и для I = I(x):
(0)
Введём комплексный параметр , называемыйпостоянной (коэффициентом) распространенияи определяемый выражением
(0)
Для того, чтобы внести однозначность в определение , условимся в дальнейшем выбирать то значение корня, которое располагается в первом квадранте плоскости комплексной переменной. Вещественная часть постоянной распространения называетсякоэффициентом затухания, а мнимая– коэффициентом фазы(волновым числом). Более детально смысл этих величин обсуждается ниже.
С введением постоянной распространения комплексные телеграфные уравнения однородной линии примут вид:
и (0)
Уравнения такого вида в теории колебаний называют волновыми или уравнениями Гельмгольца.
Комплексные характеристики полубесконечного отрезка однородной линии
Общее решение комплексных телеграфных уравнений
Рис. 3
, (0)
. (0)
Постоянные интегрирования U(0) и I(0) характеристик конечного участка[0,x] полубесконечного отрезка линии[0, ) (11), (12) представляют собой комплексы действующих значений напряжения и тока в его начале. С другой стороны их можно рассматривать как комплексы действующих значений напряженияU1= U(0) и тока I1 = I(0)неавтономного двухполюсника, между которыми должна существовать линейная зависимость. Для установления этой связи обратимся к комплексным дифференциальным характеристикам однородной линии (5), (6). Комплекс действующего значения напряженияU(x)с учётом (12) будет определяться выражением
(0)
Обозначим
(0)
Это выражение называется характеристическим(волновым)сопротивлениемоднородной линии. Для определённости,из двух значений последнего корня для Zc надо взять то, аргумент которого подчиняется неравенству
Сопоставляя выражения (11) и (13), находим Z-форму искомой линейной зависимости:
или . (0)
Справедливо и дуальное (в Y-форме) соотношение между рассматриваемыми величинами
или. (0)
Выражение
(0)
при определяетхарактеристическую (волновую) проводимостьоднородной линии. Очевидно, характеристическое сопротивлениеZcи характеристическая проводимостьYcявляются взаимообратными величинами
и.
Из формул (15), (16) следует, что, значения характеристических параметров Zc иYcоднородной линии совпадают со значениями сопротивления и проводимости её полубесконечного отрезка и, вполне естественно, его полубесконечного участка[x,), если определить их отношениями
и .
Однако, в отличие от значений сопротивления и проводимости сосредоточенного пассивного двухполюсника, находящихся в правой комплексной полуплоскости, включая её границу, значения характеристического сопротивления и характеристической проводимости однородной линии, располагаясь в той же полуплоскости, занимают более узкую область, заключённую между биссектрисами первого и четвёртого квадрантов или на её границе.
Постоянная распространения и характеристическое сопротивление(характеристическая проводимость) однородной линии представляют еёхарактеристические параметры.
Таким образом, число постоянных интегрирования в комплексных характеристиках конечного участка [0, x] полубесконечного отрезка линии[0, ) (11), (12) сокращается до единицы,и их можно записать в одной из двух форм:
, , (0)
либо
,(0)
Значение потребляемой комплексной мощности PSп(x), в сеченииxполубесконечного отрезка линии вычисляется как обычно:
,
где PSп(0) – значение потребляемой комплексной мощности в начале отрезка.