Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

655 Кб

Скачать

☆

Вариант № 13

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить

дифференцированием.

sin x

подведение под

−

∫

dx =

знак дифференциала

= −∫cos 3

xd cos x = − 3cos3

x + C = −33 cos x + C .

cos

′

−

sin x

Проверка: (− 33

cos x + C)

= −3

cos3

x = −3 cos 3 x (−sin x) =

cos

Ответ: ∫

sin x

dx = −33

+ C .

cos x

cos

2.∫sinx2 x dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du . x = u, dx = du

∫

v = −ctg x = −x ctg x + ∫ctg xdx = − x ctg x + ∫

d sin x

= dv,

sin2 x

sin x

sin2

= −x ctg x + ln

sin x

+ C . Проверка:

(− x ctg x + ln

sin x

+ C)′ = −ctg x +

cos x

Ответ: ∫

sin2

sin x

sin2 x

dx = −x ctg x + ln

sin x

+ C .

sin

3. ∫

2x − 8

dx = −∫

− (2x +1) +

9 dx = − ∫

d(1− x − x2

)

dx − 9∫

1− x − x2

= −2 1− x − x2 − 9∫

= − 2 1− x − x2 − 9∫

− (x2 + x +1/ 4)

− (x

−1/ 2)2

5/ 4

− 9arcsin

x −

1/ 2

+ C = −2

− 9arcsin

−

+ C .

= −2 1− x − x2

1− x − x2

5 / 2

2x −1

′

Проверка:

− 2

− x − x2

− 9arcsin

+ C

= −2

− 2x −1

− 9

2x +1

−

2 1− x − x

1−

(2x −1)

1− x − x

5 − 4x − 4x −1

2x +1

−

2x − 8

1− x − x2

Ответ: ∫

2x − 8

− 9arcsin

−

+ C .

dx = −2

1− x − x2

4. ∫

x4 − 2x3 + 2x

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на

− x

− x +1

простые дроби. ∫

x4 − 2x3 +

= ∫[x −1+

]dx

− x

+1)(x −1)

A(x −1)2 + B(x2 −1) + C(x +1)

(x +1)(x −1)2

x −1

(x −1)2

(x +1)(x −1)2

A(x −1)2

+ B(x2 −1) + C(x +1) = 1. Полагаем x = −1, получим A = 1/ 4. Из равенства

x = 1 следует C = 1/ 2 . Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 0 . Или

B = −1/ 4. Таким образом,

∫

x4 − 2x3 +

dx = ∫[x −

−

]dx =

− x

4(x +1) 4(x −1) 2(x −1)

x +1

− x +

x +1

−

x −1

−

+ C =

− x −

+ C

2(x −1)

2(x −1) 4

x −1

Проверка:

x +1

′

− x −

+ C

− x −

x +1

−

x −1

+ C

2(x −1)

x −1

2(x −1) 4

= x −1+

−

4(x2 −1)(x −1)2

+ 2(x +1) + (x

−1)2 − x2 +1

−1)2

4(x −1)

4(x2

−1)(x −1)

2(x

4(x +1)

4x4 −

8x3 + 8x − 4 + 2x + 2 + x2 − 2x +1− x2 +1

− 2x

3 + 2x

4(x2 −1)(x −1)

− x2

− x +1

Ответ: ∫

x4 − 2x3 + 2x

x +1

dx =

− x −

+ C .

− x

x −1

− x +1

2(x −1) 4

∫

− 8x +13

dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем.

−1)(x

− 4x +

∫

− 8x +13

dx = ∫

x2 − 8x +13

dx .

−1)(x

− 4x +

(x −1)[(x −

+1]

x2 − 8x +13

Bx + C

A(x2

− 4x + 5) + (Bx + C)(x−1)

(x −1)[(x − 2)2 +1]

x −1

− 4x +

(x −1)(x2 −

4x + 5)

A(x2

− 4x + 5) + (Bx + C)(x−1) = x2 − 8x +13 . Полагаем x = 1, получим A = 3.

Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим A + B = 1. Или B = −2. Приравнивая

коэффициенты при

x0 , получим 5A − C = 13. Или C = 2 . Таким образом,

∫

− 8x +13

dx = ∫[

−

2x − 2 − 2 + 2

]dx =

−1)(x

− 4x +

−

−1)

= 3ln

x −1

− ln((x − 2)2

+1) − 2arctg (x − 2) + C = ln

− 2arctg(x − 2) + C .

− 4x

Проверка:

(x −1)

′

2x − 4

− 2arctg(x

− 2) + C

−

x2 − 4x +

x −

2 − 4x +

1 x

5 x2 − 4x + 5

3(x2 − 4x + 5) −

2(x − 2)(x −1) − 2x + 2

− 8x +13

(x2

− 4x + 5)(x −1)

(x2 + 2x + 2)(x +

Ответ: ∫

x2 −

8x +13

dx = ln

(x −1)3

− 2arctg(x − 2) + C .

−1)(x

− 4x +

− 4x + 5

cos2 x

6. ∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

(1+

∫

x = t3 , dx = 3t2dt

= ∫

3t2dt

3∫

= 3∫

+ t2

− t

2 )dt

3∫

+ t

(1+ t

+ t

x(1

+ 3 x2 )

x = t2

)

t(1

)

tdt

− 3∫

= 3ln

−

ln(1+ t2 ) + C = 3ln

+ C = 3ln

+ C .

1+ t

1+ t2

1+ 3 x2

x−1/ 3

′

x−2 / 3 1+ 3 x2 − 3

3 x

2 1+ 3 x2 3

= 3

Проверка:

3ln

+ C

x−2 / 3 (1+ 3

x−2 / 3

x2 ) −1

. Ответ: ∫

= 3ln

3 x

+ C .

(1+

3 x(1+ 3 x2 )

x(1+ 3 x2 )

1+ 3 x2

7. ∫

− 8

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

∫

x2 − 8

= −∫

1/t2 − 8dt

= −∫

1− 8t2 t2dt

= −∫

t =

, dt = −

1− 8t

2 tdt =

1/t

1 (x2

− 8)

∫ 1− 8t2 d(1− 8t2 ) =

(1− 8t2 )3 + C =

(1− 8/ x2 )3 + C =

+ C .

16 3

Проверка:

′

3x3

− 8 2x − 3x2

(x2 − 8)3

(x2

− 8)3

x2 − 8[x2

− (x2

− 8)]

+ C

x2 − 8

. Ответ: ∫

x2 − 8

dx =

1 (x2

− 8)3

+ C .

8. ∫sin3 xdx . Интегрируем после предварительных преобразований.

∫

sin3

xdx

= ∫

sin2

x sin xdx

= −∫

(1− cos2

x)d cos x

+ cos x + C .

cos

cos x

′

− sin x

sin x(1− cos2

sin x3

Проверка:

+ cos x + C = −

− sin x =

cos x

cos2 x

Ответ: ∫

sin3 xdx

+ cos x

+ C .

cos

cos x

∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

− 3cos x

t = tg

dx =

2dt

∫

1+ t2

= ∫

2dt

=∫

2dt

=∫

2dt

5 − 3cos x

cos x =

1− t

3(1

− t

)

5 + 5t

− 3(1

− t

)

+ 2

5 −

+ t2 )

1+ t

∫

arctg 2t + C =

arctg (2tg

) + C .

+1/ 4

Проверка:

′

arctg (2tg

)

+ C

+ 4tg2

(x / 2) + 8sin2

(x / 2) 2cos2

(x / 2)

2cos2

(x / 2)

2 + 6sin2 (x / 2)

2 + 3(1− cos x)

5 − 3cos x

Ответ: ∫

arctg (2tg

) + C .

− 3cos x

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость. 10.

∞

arctg x

∫

dx = lim

∫

dx = lim

∫arctg x d(arctg x) = lim

1+ x

a→∞

+ x

a→∞

a→∞ 2

∞

arctg x

π . Интеграл сходится.

Интеграл сходится.

Ответ: ∫

dx =

1+ x

=1 (π − π ) = π .

2 2 4 8

2a = 2

11.

dx = lim

dx = 2

2a lim

2a lim( 2a − α ) = 4a . Интеграл

∫

α →0

α >0

схо-

дится.

Ответ: ∫

dx = 4a . Интеграл сходится.

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y = 3x2 + x − 4 = f						1	(x)
12.						1		. Найдём точки пересечения линий:
12.								. Найдём точки пересечения линий:
y = 7x + 5 = f2					(x)
3x2 + x − 4 = 7x + 5					3x2 − 6x − 9 = 0								x = −1, x	2	= 3.
													1	2					30
																			30
Тогда
x2							3												23
x2							3
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[7x + 5 − (3x2 + x − 4)]dx =																			16
x1							−1												9
3																			9
3												3
= ∫[9 + 6x −3x			2	]dx = [9x +				3x	2	− x	3	3	=
= ∫[9 + 6x −3x				]dx = [9x +				3x		− x		] −1	=						2
																			2
−1																			5
= 27 + 27 − 27 + 9 −					3 −1 = 32 . Ответ: S = 32.														5		0	2	4
																			2		0	2	4

	2	2 cost
x =	2	2 cost
13.				, y = 3, (y ≥ 3). Это часть эллипса.
y =	3	2 sint

Найдём точки пересечения линий: 3													2 sint = 3 sint			=	1 t	1	= 5π , t	1	= π .
																	2	1	6	1	6
																	2		6		6
Следовательно,

π / 6

S = ∫(y(t) − 3)dx(t) = − ∫[3

sint − 3]2

2 sin tdt =

5π / 6

π / 6

= −6 2 ∫[ 2 sint −1]sin tdt = −12 ∫sin2 tdt − 6 2 cost

= −6

∫(1− cos2t)dt − 6 6

5π / 6

π / 6

2π

−

]− 6

= 4π + 3

= −6[t −

sin 2t]

− 6 6 = −6[−

3(1− 2 2) .

5π / 6

Ответ: 4π + 3 3(1− 2 2) .

	14. Вычислите длину дуги кривой											2
	y = 2cos3			t			π					2
	y = 2cos3			t
				, 0	≤ t ≤			(астроида).
(L):				, 0	≤ t ≤			(астроида).
	x = 2sin3			t			2

	t2											0
L = ∫ [x′(t)]2 + [y′(t)]2 dt =
	t1
π / 2
= ∫	(6sin	2	t cost)		2	+ (−6cos		2	tsint)	2	dt =	2
= ∫	(6sin		t cost)			+ (−6cos			tsint)		dt =	2	1	0	1	2
												2	1	0	1	2
0

π / 2		π / 2	π / 2	3	cos2t	π / 2
π / 2		π / 2	π / 2			π / 2
= 6 ∫	sin2 t cos2 tdt = 6 ∫sin t costdt = 3 ∫sin 2tdt = −					= 3. Ответ: L = 3.
= 6 ∫	sin2 t cos2 tdt = 6 ∫sin t costdt = 3 ∫sin 2tdt = −			2		= 3. Ответ: L = 3.
0	0		0	2		0
0	0		0			0
						(y − 3)2	+ 3x = 0,
15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)							вокруг оси
						x = −3

OX.

Выразим y из уравнения линии: y = 3 ± − 3x . Обозначим y1 (x) = 3 + − 3x и y2 (x) = 3− − 3x . Тогда

V = π ∫(y1

− y2 )dx = π ∫[(3 +

− 3x)

− (3 −

− 3x)

]dx =

−3

= π ∫[9 + 6

− 3x − 3x − (9 − 6

− 3x − 3x)]dx = 12π ∫

− 3xdx =

−3

12π (−3x)3/ 2

= 108π . Ответ: V = 108π .

− 3

−3

1.5

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги

= e

− x

вокруг оси OX.

(L)

≤ x

≤ ∞

∞

P = 2π ∫ y 1+ y′2 dx = 2π ∫e−x 1+ e−2x dt =

e−x = t, dt = −e−x dx

= −2π ∫ 1+ t2 dt =

tdt

= 1+ t , du =

= 2π ∫

J = ∫

dt =

1+ t2

= t

−

1+ t2 dt = 2πJ . Найдём J:

1+ t2

= dt, v = t

+1−1)dt

− ∫

2 − ∫

2 + ln(t + 1+ t2 )

− ∫ 1+ t2 dt =

2 + ln(1+

2) − J .

1+ t

Отсюда находим J = 1[2 + ln(1+ 2)] . Следовательно, P = π[2 + ln(1+ 2)]. 2

Ответ: P = π[2 + ln(1+ 2)].

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.

arcsin

17. ∫

dx. По справочнику находим:

arcsin

a +

− x

∫

dx = −

arcsin

−

+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и

другие математические формулы.)

arcsin

Ответ: ∫

dx = −

arcsin

−

a +

− x

+ C .

∞

cosax

∞

cosax

π e−

18. ∫

dx . По справочнику находим: ∫

dx =

1+ x

∞

cosax

dx = π e−

Ответ: ∫

1+ x

19. При гармоническом колебательном движении по оси абсцисс около начала

координат скорость точки определяется вылражением

2π

cos(

2πt

+ ϕ

), где T –

период, ϕ0

- начальная фаза. Найдите положение точки в момент времени t2 , если в

момент времени t1 она находилась в точке x = x1 .

x(t) =

∫

x′(t)dt =

∫

2π

cos(

2πt

+ ϕ

) dt =

2π

sin(

2πt

+ ϕ

) + C . Воспользуемся

2π

начальным

условием:

x(t

) = sin(

2πt1

+ ϕ

) + C = x

C = x

− sin(

2πt1

+ ϕ

). Следовательно,

x(t) = x

+ sin(

2πt

+ ϕ

) − sin(

2πt2

+ ϕ

) . Тогда

x(t

) = x

+ sin(

2πt2

+ ϕ

) − sin(

2πt2

+ ϕ

) ,

или

x(t

) = x + 2cos(

π (t2 + t1 )

+ ϕ

)sin(

π (t2

− t1 )

) .

Ответ:

x(t

) = x

+ 2cos(

π (t2 + t1 )

+ ϕ

)sin(

π (t2

− t1 )

) .

20. Определите давление воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием

18 м и высотой 6 м.

Разобьём шлюз на горизонтальные полоски. На глубине h

давление на элементарную полоску составит величину

F=γh

где γ – плотность воды, а S=18Δh. Дифференциал силы

Δh

давления будет равен dF = 18γhdh. Тогда

F / 2 = ∫dF = 18γ ∫hdh = 9γ h		2	6	= 256γ = 324 (γ = 1).	h
		2	6

			0
			0
0	0

Ответ: F = 324 т.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015663 Кб30m2var04.pdf
#
27.03.2015654 Кб25m2var05.pdf
#
27.03.2015652 Кб17m2var06.pdf
#
27.03.2015659 Кб18m2var08.pdf
#
27.03.2015655 Кб15m2var09.pdf
#
27.03.2015655 Кб13m2var13.pdf
#
27.03.2015653 Кб15m2var14.pdf
#
27.03.2015652 Кб14m2var15.pdf
#
27.03.2015654 Кб17m2var16.pdf
#
27.03.2015650 Кб15m2var17.pdf
#
27.03.2015660 Кб39m2var18.pdf