Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var09

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

655 Кб

Скачать

☆

Вариант № 9

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить дифференцированием.

подведение под

−

∫

dx =

= ∫(ex + 4)

+ 4) =2

+ 4 + C .

2 d(ex

+ 4

знак дифференциала

Проверка: (2

+ C)′ = 2

+ 4

2 ex

+ 4

Ответ: ∫

dx = 2 ex

+ 4 + C .

+ 4

∫(x2

+1) 3x dx. Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

+1 = u,

du = 2xdx

x2 +

x = u,

du = dx

∫(x2 +1) 3x dx =

3x −

∫x 3x dx =

dx = dv,

v =

ln3

dx = dv,

v =

ln3

x2 +1

3x −

(

3x −

∫3x dx) =

x2 +1

3x −

3x +

3x + C =

ln3

[(x2

+1)ln2 3 − 2xln3 + 2]+ C . Проверка:

ln3

′

3x ln3

[(x2 +1)ln2

3 − 2xln3 + 2] + C

[(x2 +1)ln2 3 − 2xln3 + 2] +

[2xln2 3 − 2ln3] =

3x ln3

[(x2 +1) .

ln3

ln3 3

Ответ: ∫(x2 +1 3x dx =

[(x2 +1)ln2 3− 2xln3 +1] + C .

∫

x + 3

dx =

∫

8x − 4 + 28

dx = −

∫

d(3 + 4x − 4x2

)

dx +

∫

3+ 4x − 4x2

3 + 4x − 4x2

3+ 4x − 4x2

3 + 4x − 4x2

∫

d(2x −1)

= −

arcsin

2x −1

+ C .

= −

3 + 4x − 4x2

− (4x2 − 4x +1)

2x −1

′

Проверка: −

3+ 4x − 4x

arcsin

+ C

= −

− 8x + 4

2x −1

x + 3

4 2 3 + 4x −

4x2

1−

(2x −1)2

2 3+ 4x − 4x2 2 3 + 4x − 4x2

3+ 4x − 4x2

Ответ: ∫

x + 3

arcsin

2x −1

+ C .

dx = −

3 + 4x − 4x2

3+ 4x − 4x2

4.∫ x3 − 2x2 −12x − 7 dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную часть на x3 − 3x − 2

простые дроби. ∫

− 2x2 −12x − 7

dx = ∫[1−

2x2 + 9x + 5

]dx = ∫[1+

2x2

9x + 5

]dx

− 3x − 2

+1)

(x − 2)

2x2 + 9x + 5

A(x +1)(x − 2) + B(x − 2)

+ C(x

+1)2

(x +1)2 (x − 2)

x − 2

(x +1)2 (x − 2)

x +1 (x +1)

A(x +1)(x − 2) + B(x − 2) + C(x +1)2

= 2x2 + 9x + 5 .

Полагаем

x = −1, получим B = 2/ 3.

Из равенства

x = 2

следует

C = 31/9. Приравнивая коэффициенты при x2 , получим

A + C = 2.

Или

A = −13/9.

Таким

образом,

∫

− 2x2 −12x −

dx = ∫[1

−

]dx =

− 3x − 2

9(x +1)

3(x +

9(x −

= x +

x +1

−

x − 2

+ C

3(x +1)

′

Проверка: x +

x +1

−

− 2

+ C

= 1+

−

3(x +1)

9(x +1)

9(x − 2)

(x +1)

9x3 − 27x −18 +13x2

−13x − 26 − 31x2

− 62x − 31− 6x +12

9x3 −18x2

−108x − 63

9(x +1)2 (x − 2)

x3 − 2x2 −12x − 7

. Ответ:

∫

− 2x2 −12x − 7

dx = x +

−

x − 2

+ C .

(x +1)

(x − 2)

− 3x

− 2

3(x

+1)

∫

. Вычисляем интеграл с помощью разложения на простые дроби.

−

∫

= ∫

Bx + C

− 8

+ 2x + 4)(x −

+ 2x

+ 4)(x

−

+ 2x +

A(x2 + 2x + 4) + (Bx + C)(x − 2)

A(x2

+ 2x

+ 4) + (Bx + C)(x − 2) = 1. Полагая x = 2 ,

(x2

+ 2x + 4)(x − 2)

получим A = 1/12 . Приравняем коэффициенты при x2 : A + B = 0 B = −1/12 .

Приравняем коэффициенты при x : 2A − 2B + C = 0 C = −1/3. Следовательно,

∫

= ∫

x + 4

∫

2(x +1) + 6

[

−

]dx

x − 2

−

]dx =

− 8

12 x

+ 2x +

(x +1)

+ 3

12(x − 2)

x − 2

−

ln(x2 + 2x

+ 4) −

arctg

x +1

+ C =

(x − 2)2

−

arctg

+ C

2 + 2x +

4 3

24 x

4 4 3

Проверка:

′

(x − 2)

x +1

2x + 2

−

arctg

+ C

−

+ 2x

+ 4 4 3

12(x − 2)

24(x

2x + 4)

+ 2x + 4

+ 2x + 4 − (x +1)(x − 2) − 3(x − 2)

12(x2

+ 2x + 4)(x − 2)

(x2 + 2x + 4)(x − 2)

x3 −

Ответ: ∫

− 2)2

−

arctg

x +1

+ C .

−

8 24

+ 2x + 4 4 3

∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

x +1)

∫

x = t4

, dx = 4t3dt

∫

4t3dt

4∫

t2dt

= 4∫

(t2 +1−1)dt

= 4t

− 4arctg t + C =

x = t

t(t

x( x +1)

= 44

x − 4arctg 4 x + C .

Проверка: (44

+ C)′ = 4

− 4arctg 4

x−

− 4

x−

x −1

(1+ x)x3/ 4

(1+ x)4 x

x 4

Ответ: ∫

= 44

x − 4arctg 4

x + C .

x +1)

∫

− a2

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

− a2

= t2 , xdx = tdt,

∫

− a2

dx = ∫

− a

xdx =

= ∫

tdt = ∫

t2 + a2 − a2

= t

+ a

− a2

= t − a2

arctg

+ C =

− a2 − a arctg

+ C .

Проверка:

′

− a

− a2

− a

arctg

+ C

−

1+ (x

− a

2 x − a

/ a

2a x

− a

−

xa2

− a2

− a

x2 − a2

x2 x2 − a2

x x2 − a2

Ответ: ∫

− a2

dx =

− a2

− a arctg

+ C .

∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

cos

∫

3x = t, dt =

3dx

, cos2 3x =

∫

∫(1

+ t

2 )dt

cos

1+ t

+ t

)

−1

= tg 3x + tg3 3x + C .

tg 3x

3 3x

′

1+ tg2 3x

Проверка:

+ C

3tg2 3x

3cos

cos

Ответ: ∫

tg 3x

tg3 3x

+ C .

cos

9. ∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

− 3cos

x + 5sin

∫

tg x = t,

dx =

, sin2 x =

, cos2 x =

− 3cos

x + 5sin

+ t

1+ t

dt =

+ C =

∫

= ∫

arctg 3t + C =

arctg(3tg x) + C

+ 4t

+ 9t

[4 − 3

+ 5

](1+ t2 )

− 3+ 5t

+ t2

Проверка: arctg(3tg x)3

=	1

	1+ 3(1− cos2 x) + 5sin2 x

′

+ C

+ 9tg2 x)cos2 x

cos2 x + 9sin

2 x

+ 8sin

4 − 3cos2 x + 5sin2 x

Ответ: ∫				dx				=	1	arctg(3tg x) + C .

	4	− 3cos	2	x	+ 5sin	2	x		3
	4	− 3cos		x	+ 5sin		x		3

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

d(x

6 +1)

10. ∫

dx = lim

∫

dx =

lim

∫

limln(x6

+1)

= ∞ . Интеграл

a→∞

6 a→∞

∞

расходится.

Ответ: ∫

dx . Интеграл расходится.

xdx

1−α

xdx

1−α

11.

∫

= lim

∫

= −lim 1− x2

1− x

α →0

1− x

α →0

1/ 2

= 3 . Интеграл сходится. 2

1
1		xdx				3
Ответ: ∫		xdx	=			3		. Интеграл сходится.


1/ 2	1− x2				2
Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.
y = 2x2		− 5x +1 = f					1		(x)	. Найдём точки пересечения линий:
12.							1			. Найдём точки пересечения линий:
y = 5x −11 = f2 (x)
2x2 − 5x +1 = 5x −11 x2 − 5x + 6 = 0 x = 2, x																			= 3.
Тогда															1			2		4


x2									3											2.5


S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[5x −11− (2x2															− 5x +1)]dx =					1
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[5x −11− (2x2															− 5x +1)]dx =
x1									2						3
3										− 2x			3		3					0.5
3													3
= ∫[10x − 2x	2 −12]dx = [5x2													−12x]	=


2										3					2						2
				16							`1					1				2		2.25	2.5	2.75	3
= 45 −18 − 36 − 20 +				16		+ 24 =					`1	. Ответ: S =				1	.
= 45 −18 − 36 − 20 +						+ 24 =						. Ответ: S =					.
					3					3					3

13.x = 6cost, y = 3, (y ≥ 3) . Это эллипс. Найдём точки пересечения линий:y = 2sin t

2sin t

3 sint

2π

, t2

π / 3

S = ∫[y2 (t) − y1 (t)]dx(t) = − ∫[2sin t −

3]6sintdt =

1.5

2π / 3

π / 3

= −12

∫sin2 tdt + 6

∫sintdt = −6

∫(1− cos2t)dt +

2π / 3

		π / 3	1			π2π/ 3/ 3 =
+ 6	3	∫sintdt = −6[t −		sin 2t +	3cost]

			2

		2π / 3
		2π / 3

= 6[π + 3 − 3] = 2π − 33 . Ответ: S = 2π − 33 .

ρ = 3ϕ
14. Вычислите длину дуги кривой (L):	≤ ϕ	(спираль Архимеда).
0		≤ 4/3

= u, du =

ϕdϕ

ϕ2

4 / 3

ϕ 2 +1

L = ∫ ρ 2 + ρ′2 dϕ = ∫ 9ϕ 2 + 9dϕ = 3 ∫ ϕ 2 +1dϕ =

ϕ 2 +1

ϕ1

dϕ = dv, v

= ϕ

4 / 3

−1

4 / 3

dϕ

= 3ϕ ϕ 2 +1

− 3

∫

dϕ =

− 3

∫

dϕ =

− 3

∫ ϕ 2 +1dϕ + 3 ∫

4 / 3

− L + 3ln3. Получили равенство L =

− L + 3ln3.

− L + 3ln

ϕ +

ϕ 2 +1

Отсюда находим: L =

ln3. Ответ: L =

ln3.

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

y2	= x e−2x вокруг оси OX.														1
y2	= x e−2x вокруг оси OX.
		x2		∞			x = u, dx = du,
V = π ∫ y2dx = π ∫xe−2xdx =								−2x	dx = dv, v = −			1		−2x =	0
		x1		0		e			dx = dv, v = −				e
		x1		0								2
												2
		1	∞		1	∞				1	∞		π
= π[−		2	xe−2x 0	+	2	∫e−2xdx] = π[0 −				4	e−2x 0 ] =		.		1
		2			2	0				4			4		0	2	4
															0	2	4

Ответ: V = π .

y = cos x,

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

вокруг

− π / 2 ≤ x ≤ π / 2

оси OX.

π / 2

sin x = t,

P = 2π ∫ y

1+ y′2 dx = 2π

∫cos x 1+ sin2

xdx =

= 2π ∫

1+ t2 dt = 2π ∫

1+ t2 dt .

−π / 2

cos xdx = dt

−1

1 dt + ∫ t t

+ ∫ t t

J = ∫ 1+ t2 dt = ∫ 1+ t2 dt = ∫

dt = lnt + 1+ t2

dt =

−1

−1 1+ t2

−1

−1 1+ t2

t = u, dt = du,

1−1 − ∫

tdt

= ln(

2 +1) − ln( 2 −1) + [t 1+ t2

1+ t2 dt] =

= dv, v =

1+ t2

−1

) + 2

− J J =

[ln(

) + 2

[ln(

+1)2

= ln(

2] =

+ 2

2] = 2 + ln(

2 +1) .

2 −1

Следовательно, P = 2πJ = 2π[

2 + ln(

2 +1)]. Ответ: P = 2π[

2 + ln( 2 +1)].

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей

математике.

17. ∫

. По справочнику находим:

sin ax ± cosax

± π

+ C .

lntg

∫sin ax ± cosax

Ответ: ∫

± π

+ C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие

lntg

sin ax

± cosax

математические формулы.)

∞

π / 2,

< 1,

sin x cos x

sin x cosax

dx = π / 4,

18. ∫

dx . По справочнику находим:

∫

= 1, . В

> 1

∞ sin x cos x

данном случае a = 1 ∫

dx =

. Ответ:

∫

dx =

19.Найдите силу давления воды на прямой круговой конус с радиусом основания R

ивысотой H, погружённый в воду вертикально вниз так, что его основание находится на поверхности воды.

Уравнение образующей конуса y = H x , при условии,
	R	R
что начало координат располжено в точке вершины конуса.		R
что начало координат располжено в точке вершины конуса.
Тогда на уровне y элементарный слой будет иметь боковую
поверхность, равную		x
dS = 2πx 1+ x′2 dy = 2πR y		x
dS = 2πx 1+ x′2 dy = 2πR y	1+ R2 / H 2 dy . Давление на эту	H
H		H
элементарную поверхность будет равно		y
элементарную поверхность будет равно
dP = 2πR y 1+ R2 / H 2 (H − y)dy . Следовательно,		x
dP = 2πR y 1+ R2 / H 2 (H − y)dy . Следовательно,

2 H

P = ∫

2πR

1+ R2 / H 2

(H − y)dy =

2πR H + R

∫(Hy −y2 )dy =

2Rπ H 2 + R2

Hy2

πRH H 2 + R2

πRH H 2

+ R2

[

−

]

Ответ:

H 2

20. Деревянная прямоугольная балка плавает в воде. Вычислите работу,

необходимую для извлечения балки из воды, если известны её размеры «a, b, c».

Удельный вес γ

= 0.8 г/см3.

Полный вес балки равен P = γ б abc. Этот вес уравновешивается выталкивающей силой за счёт погружённой в воду части балки. Пусть глубина погружения равна h0. Тогда

abc = γ

abh

γ б c

= γ

c (γ

= 1) . При поднятии балки на высоу x, появляется вес

γ в

балки, который не скомпенсирован силой выталкивания:

P(x) = γ б abc − (h0

− x)abγ в

= abx . Элементарная работа по поднятию балки на высоту dx

составит величину dA = abxdx. Интегрируя, находим:

abx

abh2

abγ

с2

abγ

2с2

A = ∫abxdx =

. Ответ: A =

2γ

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015653 Кб17m2var03.pdf
#
27.03.2015663 Кб30m2var04.pdf
#
27.03.2015654 Кб25m2var05.pdf
#
27.03.2015652 Кб17m2var06.pdf
#
27.03.2015659 Кб18m2var08.pdf
#
27.03.2015655 Кб15m2var09.pdf
#
27.03.2015655 Кб13m2var13.pdf
#
27.03.2015653 Кб15m2var14.pdf
#
27.03.2015652 Кб14m2var15.pdf
#
27.03.2015654 Кб17m2var16.pdf
#
27.03.2015650 Кб15m2var17.pdf