Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var16

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

654 Кб

Скачать

☆

Вариант № 16

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить

дифференцированием.

∫

cos xsin 2x

dx = 2∫

cos2

xsin x

dx =

подведение под

= −

∫

d(3cos

3 x + 2)

3cos

x + 2

3cos

x + 2

знак дифференциала

3cos

x + 2

=− 2 ln 3cos3 x + 2 + C . 9

′

33cos2

xsin x

2cos xcos xsin x

cos xsin 2x

Проверка:

−

3cos

x + 2

+ C

x + 2

3cos3

x + 2

3cos3

x +

3cos

Ответ: ∫

cos xsin 2x

= −

3 x + 2

+ C .

3cos

x +

2. ∫lnx2x dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

ln x = u,

du =

∫

ln x

dx =

= −

ln x + ∫

= −

= dv, v = −

′

ln x

−

(ln x +1)

+ C

(ln x +

1) −

Ответ: ∫

ln x

dx = −

(ln x +1) + C .

1 (ln x +1) + C . Проверка: x

∫								x			dx =						1			∫						10x − 2 + 2													dx =					1		∫			d(5x2 − 2x +1)											dx +				1	∫		dx					=

				5x2 − 2x +1
				5x2 − 2x +1								10														5x2 − 2x +1																10								5x2 − 2x +1													5			5x2 − 2x +1
			1											+	1			∫														dx													=		1												+			1						dx
=			1			5x2 − 2x +1									1																	dx															1					5x2 − 2x +1										1			∫			dx					=


	5											5											5(x2 −							2			x +				1			) +		4				5														5			5			(x −		1	)2	+	4

																														5							25					5																										5			25
																														5							25					5																										5			25
			1												1														1
														+								ln					(x −					) + (x −									1		)2 +					4					+ C =			1										+
=						5x2 − 2x +1																																			1							4								1		5x2 − 2x +1


	5											5							5						5															5						25										5
		1
+		1					ln		(5x −1) + (5x −1)2 + 4																							+ С .


	5				5					1																																																				′
	5				5																									1

												5x2 − 2x +1 +																										(5x −1) +											(5x −1)2 + 4								+
Проверка:																																			ln																									С			=
Проверка:																																			ln																									С			=

										5														5						5
										5														5						5							(5x −1) 5
																								5 +													(5x −1) 5

=	1							10x − 2													1															(5x −1)2 + 4																		=		5x −1									+					1				=
	1							10x − 2								+					1															(5x −1)2 + 4																				5x −1														1



			5 2 5x2 − 2x +1 5 5 (5x −1) + (5x −1)2 + 4 5 5x2 − 2x +1																																													5 25x2 −10x +1+ 4
=							5x −1						+											1										=									x								.



			5 5x2 − 2x +1 5 5x2 − 2x +1																																				5x2 − 2x +1
Ответ: ∫												x																1																		1
												x									dx =							1			5x2					− 2x +1 +										1						ln			(5x −1) +						(5x −1)2					+ 4	+ С .

											− 2x +1
										5x2														5																						5 5
										5x2														5																						5 5
																																														1

∫

+ 3x

+ x

+ 2

dx . Выделяем целую часть дроби и интегрируем.

(x + 2)(x

+ x − 2)

x + 6

∫

+ x + 2

dx = ∫[1+

]dx =∫[1+

]dx

(x + 2)(x

+ x − 2)(x + 2)

(x −1)(x + 2)

+ x − 2)

x + 6

A(x

+ 2)2 + B(x + 2)(x

−1) + C(x −1)

(x −1)(x +

2)2

x +

(x + 2)2

(x −1)(x + 2)2

−1

A(x + 2)2

+ B(x + 2)(x −1) + C(x −1) = x + 6. Полагаем x = −2, получим C = −4/3.

Полагаем x = 1, получим A = 7/9. Приравнивая коэффициенты при

x2 , получим

A + B = 0 . Или B = −7/9 . Таким образом,

∫

+ x + 2

dx = ∫[1+

−

]dx =

(x + 2)(x

x −

(x + 2)

+ x − 2)

9 x

= x +

x −1

−

x + 2

+ C = x +

x −1

+ C

x + 2

3(x +

3 x

−1

′

7 1

Проверка:

+ C

= 1+

(

−

) −

x + 2

3(x + 2)

9 x −

1 x + 2

3(x +

9(x3 + 3x2 − 4) + 7x2

+ 28x + 28 − 7x2 − 7x +

14 −12x +12

x3 + 3x2 + x + 2

9(x + 2)2 (x −1)

+ 2)(x2 + x −

Ответ: ∫

+ 3x

+ x

+ 2

dx = x +

x −1

+ C .

(x + 2)(x

+ x − 2)

x + 2

3(x + 2)

x− 4x2 −10

5.∫(x2 − x)(x2 + 2x +10)dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем.

x − 4x2 −10

∫

dx = ∫

− x)(x

x(x

−1)(x

+ 2x +10)

x − 4x2 −10

Cx + D

x(x −1)(x2 +

2x +

10)

x x −1

A(x −1)(x2

+ 2x +10)

+ Bx(x2

+ 2x +10) + (Cx + D)x(x −1)

x(x −1)(x2

+ 2x +10)

A(x −1)(x2 + 2x +10) + Bx(x2

+ 2x +10) + (Cx + D)x(x −1) = x − 4x2 −10. Полагая x = 0,

получим A = 1, полагая x = 1, получим B = −1. Приравняем коэффициенты при x3 :

A + B + C = 0 C = 0. Приравняем коэффициенты при x2 : A + 2B − C + D = −4 D = −3.

x − 4x2 −10

Таким образом, ∫

dx = ∫[

−

]dx = ln

− ln

x −1

−

− x)(x

+ 2x +10)

−1

+ 2x

+10

− 3∫

= ln

− ln

x −1

− arctg

x +1

+ C

= ln

− arctg

x +1

+ C .

(x +1)

+ 9

x −1

Проверка:

′

− arctg

+ C =

−

x −1

x x −1

1+ (x +

/9 3 x x −1

+ 2x +10

(x −1)(x2

+ 2x +10)

− x(x2 + 2x +10)

− 3x(x −1)

− (x2

+ 2x +10) − 3x2

x(x −1)(x2 + 2x +10)

x(x −1)(x2

+ 2x +10)

x − 4x2 −10

Ответ: ∫

x − 4x2 −10

dx = ln

− arctg

x +1

+ C .

x(x −

− x)(x

+ 2x

+10)

−1

1)(x

2x +10)

∫

dx . Делаем замену переменной и интегрируем.

+ 8

t2 8t7dt

t2dt

−

1+1dt

∫

4 x

dx =

x = t8 , dx = 8t7dt

= ∫

8∫

= 8∫

= 8∫(t

−1+

)dt

+ 8 x7

+ t

t +1

= 8(

− t + ln

t +1

+ C = 44

x − 88

x + 8ln

x +1

+ C .

Проверка:

(44

+ C)′ = x−3/ 4

x−7 /8

− x−7 /8

x +1)x1/8

− 8

x −1+1

x − 88 x + 8ln

8 x +1

(8 x +1)x7 /8

. Ответ: ∫

4 x

dx = 44

x − 88

x + 8ln

x +1

+ C .

x + 8

∫

− 4

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

x = 2cos−1 t, dx = 2cos−2 t sintdt,

2tg t 2sint cos3 tdt

∫

− 4

∫

∫sin2

tdt =

∫(1− cos2t)d

dx =

− 4 = 4tg

8cos

(t −

sin 2t) + C =

(t − sint cost) + C =

(t −

1− cos2 t cost) + C =

−

1− 4/ x2

+ C

−

+ C .

(arccos

)

arccos

′

x2 − 2x x2 − 4

− 4

+ C

x − 4

Проверка:

arccos

−

1− 4/ x

4 x

−

2x(x2 − 4)

+ x2 − 8

− 4

2 x x2 − 4 2

x2 − 4

2 x3 x2 − 4

Ответ: ∫

− 4

dx =

arccos

−

+ C .

8. ∫cos4 xsin3 xdx . Интегрируем после предварительных преобразований.

∫cos4 xsin3 xdx = −∫cos4 x(1− cos2 x)d cos x = −

cos5 x

cos7

+ C = C −

cos5 x

cos7 x

Проверка:

cos5

cos7

x ′

C −

(cos4 x − cos6 x)sin x = (1− cos2

x)cos4 xsin x = cos4 xsin3 x .

Ответ: ∫cos4 xsin3 xdx = C −

cos5 x

cos7 x

9. ∫

sin2

xdx

. Интегрируем с помощью замены переменной.

1+ cos x

∫

sin2 xdx

∫

(1− cos2 x)dx

= −∫

(cos2 x +1− 2)dx

= −x

+ 2∫

+ cos

1+ cos

+ cos

tg x = t,

dx = dt /(1+ t2)

= −x + 2∫

= − t +

cos

x = 1/(1+ t

)

[1+1/(1+ t

)](1+ t

)

+ 2

+			arctg		t
		2


	2
Проверка:
				tg x

	2arctg

=		sin2 x	.
1		+ cos2 x

+ C = 2arctg tg x − x + C .

′

−1− cos2 x

− x + C = 2

−1

−1 =

+ tg2 x / 2

2cos2

x + sin2

1+ cos2

2 cos2 x

Ответ: ∫

sin2 xdx

arctg

− x + C .

1+ cos

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

= t, dt = −

10.

∫

sin

dx =

= −

∫

sintdt = cost

= 1− 0

= 1. Интеграл

если x → ∞, то t → 0

/ 2

2 /π

π / 2

∞

сходится.

Ответ:

∫

sin

dx = 1. Интеграл сходится.

2 /π

−α

11. ∫

= lim

∫

+ lim

∫

= limln

α−1

+ limln

β2 = (−∞ + ∞) . Бесконечно большие

−1

α →0

−1

β →0

α →0

β →0

α >0

β >0

α >0

β >0

величины могут быть разного порядка в зависимости от соотношения скорости стремления к нулю бесконечно малых величин α, β . Поэтому интеграл расходится.

Ответ: ∫ dx . Интеграл расходится.

−1 x

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y = 3x2 − x	+ 2 = f	1	(x)
12.			. Найдём точки пересечения

y = −4x + 8	= f2 (x)

линий:

3x2 − x +	2 = −4x + 8 3x2 +		3x − 6 = 0 x = −2, x				16
3x2 − x +	2 = −4x + 8 3x2 +		3x − 6 = 0 x = −2, x			2	= 1.
					1	2
Тогда							12
x2	1
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[−4x + 8 − (3x2					− x + 2)]dx =		8
x1	−2						4
							4
1		2		= 6 − 3 −1+12 + 6 − 8 = 13 10
= ∫[6 − 3x −3x2 ]dx = [6x − 3x			− x3 ]1	= 6 − 3 −1+12 + 6 − 8 = 13 10
−2	2		−2		2		2 2	1	0	1
−2
. Ответ: S = 13 1 .
	2

x = 3cost

13. y = 8sin t	. Это часть эллипса. Найдём точки
	≥ 4)
y = 4, (y	≥ 4)

пересечения линий:

		8
		6
		4
		2
3	1.5	0	1.5	3

8sin t = 4 sint

5π

, t

= π . Следовательно,

π / 6

S = ∫(y(t) − 4)dx(t) = − ∫[8sint − 4]3sin tdt =

5π / 6

π / 6

π5π/ 6/ 6

π / 6

= −12 ∫[2sint −1]sin tdt = −24 ∫sin2 tdt − −12cost

= −12 ∫(1− cos2t)dt −12

3 =

5π / 6

π / 6

2π

−12

= −12[−

−

] −12

= −12[t −

sin 2t]

3 = 8π − 6

3 . Ответ: S = 8π − 6 3 .

5π / 6

2ϕ

ρ = e π

(логарифмическая спираль).

14. Вычислите длину дуги кривой (L):

0 ≤ ϕ ≤ 2π

ϕ2

2π

2ϕ

2π ϕ

L = ∫ ρ 2 + ρ′2 dϕ = ∫

∫e

dϕ = π 2 +1 e

= π 2 +1(e2 −1) .

e π dϕ =

ϕ1

Ответ: L = π 2

+1(e2

−1) .

x = 3(1− cost)

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

, 0 ≤ t ≤ 2π

= 3(t − sint)

(циклоида) вокруг оси OY.

2π

V = π ∫x2 (t)dy(t) = π ∫9(1− cost)2 3(1− cost)dt = 27π ∫(1− 3cost + 3cos2 t − cos3 t)dt =

02π +

2π

= 27π[(t − 3sint)

∫(1+ cos2t)dt − ∫(1− sin2 t)d sint] = 27π[2π + 3π +

sin 2t

−

2π

− (sint − sin3 t) = 135π 2 . Ответ: V = 135π 2 .

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L) 4x2 + y2 = 4 вокруг оси OY.

x	2				y	2						y2												2											y	2
x			+		y		= 1 P = 2π ∫x x′2 +1dy = 2π ∫ 1− y2 / 4																												y						+1dy =
1			+		4		= 1 P = 2π ∫x x′2 +1dy = 2π ∫ 1− y2 / 4																									4(4			− y			2	)		+1dy =
1					4							y1												−2								4(4			− y				)
												y1												−2
	2																				2											2												dy = π					2
	2									y	2										2		y	2								2					4 −			3y		2							2
= π ∫						4 − y2				y						+1dy = π						∫	y		+ 4 − y2 dy = π ∫															3y									∫ 16 − 3y2 dy =
= π ∫						4 − y2				− y			2		)	+1dy = π						∫	4		+ 4 − y2 dy = π ∫																								∫ 16 − 3y2 dy =
			−2					4(4		− y					)						−2		4										−2						4				2						−2
			−2																		−2												−2																−2
						4					4							= π			4		π / 3										costdt = π											4				π / 3
																							π / 3																									π / 3
=		y =							sin t, dy =				costdt											∫		16 −16sin2 t																					4		∫ cos2 tdt =
																																															4

						3					3							2			3		−π / 3																2							3 −π / 3
						3					3										3		−π / 3																							3 −π / 3
		4π			π / 3									4		π			1				π / 3					4π		2π															4π
					π / 3																		π / 3											3
=						∫		(1+ cos2t)dt =									(t +			sin 2t)							=		(		+			3	) = 2π (1+													) .	Ответ:
=																											=		(		+				) = 2π (1+													) .

				3 −π / 3											3			2					−π / 3			3 3						2											3 3
				3 −π / 3											3			2					−π / 3			3 3						2											3 3

P = 2π (1+ 4π ) . 33

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.

17. ∫x2arctg xdx . По справочнику находим: a

∫x2arctg

dx =

arctg

−

ax2

ln(a2 + x2 ) + C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и

другие математические формулы.)

Ответ: ∫x2arctg

dx =

arctg

−

ax2

ln(a2 + x2 ) + C .

∞

18. ∫cos(x2 )dx . По справочнику находим: ∫cos(x2 )dx = π .

−∞

∞

π .

Ответ: ∫cos(x2 )dx =

−∞

19. Определите массу шара радиуса r, если

плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию

её от центра шара.

Разрбъём шар на элементарные концентрические

слои. Объём элементарного слоя будет равен

dV = 4πρ 2dρ . Масса элементарного слоя равна

dm = 4πρ 2 kρdρ = 4kπρ3dρ , где k – коэффициент

пропорциональности.

Следовательно,

m = ∫4kπρ3dρ = 4kπ

= kπr4 . Ответ: m = kπr4

20. Вертикальная плотина имеет форму треугольника, основание которого совпадает

с уровнем воды и имеет длину a=50 м, высоту H=20м. Вычислите

силу давления на плотину.

Разобьём плотину на горизонтальные полоски. На уровне y

давление на элементарную полоску составит величину

F=γ(H-

y)ΔS, где γ – плотность воды, а

S=z y. Найдём z из условия

z H

подобия треугольников:

z =

y , т.е.

S =

y y Дифференциал силы давления будет равен

dF =

γ (H − y)ydy . Тогда

10000γ

F = ∫dF =

γ ∫(H − y)ydy =

γ [H

−

]

≈ 3333 (γ = 1).

Ответ: F ≈ 3333 т.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015659 Кб18m2var08.pdf
#
27.03.2015655 Кб15m2var09.pdf
#
27.03.2015655 Кб13m2var13.pdf
#
27.03.2015653 Кб15m2var14.pdf
#
27.03.2015652 Кб14m2var15.pdf
#
27.03.2015654 Кб17m2var16.pdf
#
27.03.2015650 Кб15m2var17.pdf
#
27.03.2015660 Кб39m2var18.pdf
#
27.03.2015276 Кб31m3var12.pdf
#
27.03.2015273 Кб13m3var15.pdf
#
01.03.2025342 Кб0Makhnachyov_Vladimir_EK-22.doc