Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

m2var17

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.03.2015

Размер:

650 Кб

Скачать

☆

Вариант № 17

В задачах 1…9 найти неопределённые интегралы, ответ проверить

дифференцированием.

∫

1− 2x

dx = ∫

− ∫

2xdx

∫

d 2x)

подведение под

1− 4x2

знак дифференциала

1− 2x)2

∫ 1− 4x2 )−

d 1− 4x2 ) =

arcsin 2x +

1− 4x2 )

+ C =

(arcsin 2x +

1− 4x2 ) + C .

′

− 8x

1− 2x

Проверка:

(arcsin 2x +

1−

)

+ C

(

)

1− 4x2

2 1− 4x2

1− 4x2

Ответ: ∫

1− 2x

dx =

(arcsin 2x +

1− 4x2 ) + C .

1− 4x2

2. ∫x ln(x −1)dx . Интегрируем по частям: ∫u dv = uv − ∫v du .

ln(x −1) = u,

du =

∫x ln(x −1)dx =

x −1

ln(x −

1) −

∫

ln (x −1) −

x −

xdx = dv,

v =

−

∫

(x2 −1+1)dx

ln(x −1) −

∫ (x +1)dx −

∫

(x2 −1)

ln(x −1) −

−

+ C .

x −1

′

x −1

(x2 −

(x2

−1)

Проверка:

ln(x

−1) −

−

+ C

ln(x −1) +

−

= xln(x −1) .

2(x −1) 2 2

Ответ: ∫xln(x −1)dx =

(x2 −1)

ln(x −1) −

−

+ C .

3. ∫

dx . Интегрируем после преобразований.

2 + 3x − 2x2

∫

dx = −

∫

3 − 4x − 3

dx = −

∫

2 + 3x − 2x2

)

dx +

∫

2 + 3x − 2x2

∫

= −

∫

= −

2 + 3x − 2x2

− 2(x2 − 2

x +

)

4 2

− (x −

arcsin

x − 3/ 4

+ C = C −

arcsin

4x − 3

= −

2 + 3x − 2x2

5/ 4

−

3 ′

Проверка: C −

2 + 3x

− 2x2 +

arcsin

= −

− 4x + 3

4x − 3

2 2 + 3x −

4x −

4 2 + 3x −

25 −

+ 24x − 9

1−

16x

4x − 3

4 2 + 3x − 2x2

2 2 2 2 + 3x − 2x2

2 + 3x − 2x2

Ответ: ∫

3x −1

arcsin

4x − 3

dx = C −

2 + 3x − 2x2

2x2 − 5x +1

4 2

− 8

∫

4x − 6x

dx . Выделяем целую часть дроби и разлагаем дробную

+ 4x

+ 9x

− 6x

− 8

3x + 4

часть на простые дроби. ∫

+ 4x

dx = ∫[2x +1− 2

]dx

+ 4x

(x + 4)

x + 3

Ax(x + 4) + B(x + 4) + Cx2

Ax(x + 4) + B(x + 4) + Cx2 = 3x + 4

x2 (x + 4)

x + 4

x2 (x + 4)

x x2

. Полагаем

x = 0, получим B = 1. Из равенства

x = −4

следует C = −1/ 2 . Приравнивая

коэффициенты

при

x2 ,

получим

A + C = 0.

Или

A = 1/ 2.

Таким

образом,

∫

+ 4x

− 6x − 8

dx = ∫[2x +1−

−

]dx = x2 + x +

− ln

+ ln

x + 4

+ C =

+ 4x

+ 4

= x2

+ x +

− ln

+ C

x + 4

Проверка:

′

= 2x +

1−

−

x + 4

x +

4 − x

2x +1)x2 (x + 4) − 2(x +

4) − 4x

2 + x

− ln

+ C

x + 4

(x + 4)

2x +1)x2

(x + 4) − 2(x + 4) + 4x

2x4 + 9x3 + 4x2 − 6x − 8

x2 (x + 4)

x3 + 4x2

Ответ: ∫

+ 9x

− 6x − 8

dx = x2

+ x +

− ln

+ C .

x + 4

+ 4x

∫

2 − x3 + 2x2 + 3x

dx . Разлагаем дробь на простые дроби и интегрируем.

+ x)(x

+1)

∫

2 − x3+ 2x2+ 3x

∫

2 − x3+

2x2+ 3x

dx:

+ x)(x

+1)

x(x +1)(x

+1)

2 − x3 + 2x2

+ 3x

+ D

A(x +1)(x2

+1) + Bx(x

2 +1) + (Cx

+ D)x(x +1)

x(x +1)(x2

+1)

x(x +1)(x2 +1)

A(x +1)(x2

+1) + Bx(x2

+1) + (Cx + D)x(x +1) = 2 − x3 + 2x2

+ 3x. Полагая x = 0, получим

A = 2, полагая x = −1, получим B = −1. Приравняем коэффициенты при x3 :

A + B + C = −1 C = −2 . Приравняем коэффициенты при x2 : A + C + D = 2 D = 2 .

Таким образом, ∫

2 − x3 + 2x2 + 3x

= ∫

−

2x − 2

= 2ln

− ln

x +1

− ln(x2 +1) +

[

]dx

+ x)(x

+1)

x x

+2arctg x + C = ln x +1(x2 +1) + 2arctg x + C .

Проверка:

′

+ 2arctg x + C

−

x +1(x2 +1)

x x +1 x2 +1 x2

2(x +1)(x2 +1) − x(x2

1) − 2x − 2)x(x +1)

2x3 +

2x2

+ 2x +

2 − x3 − x − 2x3 + 2x

x(x +1)(x2 +1)

x(x +1)(x2

+1)

2 − x3 + 2x2 + 3x

. Ответ: ∫

2 − x3 + 2x2 + 3x

dx = ln

+ 2arctg x + C .

x(x +1)(x

+1)

+ x)(x

+1(x

+1)

6. ∫

. Интегрируем с помощью замены переменной.

−

∫

x = t6 , dx = 6t5dt

∫

6t5dt

= 6∫

t2dt

= 6∫

(t2

−1+1)dt

= 6∫dt

+6∫

− t

−1

6 x5

− x

x = t3

t −1

−1

= 6t + 3ln

+ C = 6 6

x + 3ln

+ C .

Проверка:

′

x −

x + 3ln

+ C

= x−5/ 6

+ [

−

]

x−5/ 6

= x−5/ 6

x−5/ 6

x +

−1

x −1

x−1/ 2

x −1+1

3 x

= x−5/ 6

3 x −1

3 x −1 3 x −

1 6 x5 − x

Ответ: ∫

−1

+ C .

= 6 6

x + 3ln

−

x +1

7. ∫

− a2

dx . Интегрируем с помощью замены переменной.

− a2

= t2 , xdx = tdt,

+ a2

− a2

∫

− a2

dx = ∫

x2 − a2

= ∫

tdt = ∫

xdx =

= t

+ a

− a2

= t − a2

arctg

+ C =

− a2

− a arctg

+ C .

Проверка:

′

− a

− a2

− a arctg

+ C

−

2 x

− a

+ (x − a )/ a

2a x

− a

−

xa2

x2 − a

2 − a

x2 − a2

x x2 − a2

Ответ: ∫

− a2

x2 − a2

dx =

− a2

− a arctg

+ C .

8. ∫(tg2 x + tg4 x)dx . Интегрируем после предварительных преобразований.

∫(tg2 x + tg4 x)dx = ∫tg2 x

1+ tg2 x)dx = ∫

tg2 xdx

− ∫tg

2 xd(tg x) =

tg3 x

+ C .

cos

′

3 x

Проверка:

+ C

= tg2 x

= tg2 x 1+ tg2 x) = tg2 x + tg4 x .

cos

Ответ: ∫(tg2 x + tg4 x)dx = tg3 x + C .

dt =

9. ∫

sin x

dx . Интегрируем после предварительных преобразований.

1+ sin x

sin x

1− sin x)sin x

− sin x)sin x

d cos x

sin2 x

∫

dx = ∫

dx = −∫

−∫

dx =

+ sin x

1− sin

cos

∫

1− cos2 x

−

dx =

− tg x + x + C .

cos

cos x

Проверка:

′

sin x

−1

sin x −1

+ cos2 x

− tg x + x + C = −

(−sin x) −

1 =

cos2

cos2 x

cos x

sin x − sin2

sin x 1− sin x)

sin x

. Ответ:

∫

sin x

dx =

− tg x + x + C .

cos

1− sin

+ sin x

cos x

Задачи 10-11. Вычислите несобственные интегралы или установите их расходимость.

∞

xdx

(x +1−1)dx

10. ∫

dx = lim

∫

= lim ∫

= lim

∫

− lim

∫

(x +1)

x +

(x +1)

a→∞

∞

= lim[ln(x +1) −

]

= ∞ . Интеграл расходится.

Ответ:

∫

dx = ∞ . Интеграл

a→∞

x +1

+1)

расходится.

−α

11 ∫

= lim ∫

+ lim

∫

= −lim

− lim

= (∞ + ∞). Интеграл расходится.

−1

α →0

−1

β →0

α →0 x

−1

β →0 x

α >0

β >0

α >0

β >0

Ответ: ∫ dx . Интеграл расходится.

−1 x2

Задачи 12-13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями.

y	= 2x2 − 7x + 5 = f	1	(x)		Найдём точки пересечения
12.		1	.		Найдём точки пересечения
y	= −13x + 5 = f2 (x)
линий:
2x2 − 7x + 5 = −13x + 5 2x2 + 6x = 0 x = −3, x								2	= 0 .
							1	2
Тогда
x2		0
S = ∫[ f2 (x) − f1 (x)]dx = ∫[−13x + 5 − 2x2 − 7x + 5)]dx =
x1		−3
0				2x	3		0
0					3		0
= ∫[−6x −2x2 ]dx = [−3x2 −						]	= 27 −18 = 9. Ответ:
= ∫[−6x −2x2 ]dx = [−3x2 −						]	= 27 −18 = 9. Ответ:
−3			3				−3
−3							−3

48
36
24
12
0	2	1	0
3	2	1	0

S = 9.
	x = 8cos3 t					4
						4

13.	y = 4sin3 t,			. Это астроида. Найдём точки
		3, (x ≥ 3
	x = 3	3, (x ≥ 3	3)			0
пересечения линий:						0
пересечения линий:
8cos3 t = 3		3 cost =		3 t = ± π + 2kπ .
				2	6	4	4	0	4	8
	ϕ 2				π / 6	8	4	0	4	8
	ϕ 2				π / 6

S = ∫[x1 (t) − x2 (t)]dy(t) =	∫[8cos3 t − 3	3]12sin2 t costdt =
ϕ1	−π / 6
	4

π / 6

sin

π / 6

= 96

∫cos4 tsin2 tdt −36

= 12

∫ 1+ cos2t)sin2 2tdt − 3

3 =

−π / 6

π / 6

sin

3 3

= 12

∫sin2 2tdt +12

− 3

= 6 ∫ 1− cos4t)dt +

− 3

3 =

−π / 6

π / 6

= 2π −

= 2π − 3

= 6[t −

−

sin 4t]

3 . Ответ: S = 2π − 3 3 .

−π / 6

ρ =

14. Вычислите длину дуги кривой (L):

(гиперболическая спираль).

3/ 4 ≤ ϕ ≤ 4/3

u =

ϕdϕ

ϕ2

ϕ 2 +1, du =

ϕ 2 +1

4 / 3

ϕ 2 +1

L = ∫ ρ 2 + ρ′

2 dϕ = ∫ 1/ϕ 2 +1/ϕ 4 dϕ = ∫

dϕ =

ϕ1

3/ 4

dϕ

= dv, v = −

ϕ 2

4 / 3

d2ϕ

= − 5 + 5 + ln(ϕ +

4 / 3

= 5

+ ln 3 .

= −

+ ∫

ϕ 2 +1)

3/ 4

4 3

3/ 4

ϕ +1

3/ 4

Ответ: L =

+ ln

x = 4sin t

15. Найдите объём тела вращения плоской фигуры (S)

вокруг оси OX.

y = 3cost

π / 2

sin

π / 2

V = π ∫ y2 (t)dx(t) = π

∫9cos2 t 4costdt = 36π

∫ 1− sin2 t)d sintdt = 36π[sint −

]

−π / 2

= 36π[2 −

] = 48π . Ответ: V = 48π .

2 + y2

= 16

16. Вычислите площадь поверхности вращения дуги (L)

≤ x ≤

вокруг оси

OX.

P = 2π ∫ y y′2 +1dx = 2π ∫

16 − x2

+1dx = 2π ∫ x2 +16 − x2 dx = 8πx

02 = 16π .

(16 − x

)

Ответ: P = 16π .

Задачи 17…18. Вычислите интегралы, воспользовавшись справочниками по высшей математике.

17. ∫sin(ln x)dx . По справочнику находим: ∫sin(ln x)dx = x[sin(ln x) − cos(ln x)] + C . 2

Ответ: ∫sin(ln x)dx = x[sin(ln x) − cos(ln x)] + C . (Г.Б. Двайт. Таблицы интегралов и другие 2

математические формулы.)

	1	ln x			1	ln x		π 2
18. ∫				dx . По справочнику находим: ∫			dx =	.
18. ∫		x −1		dx . По справочнику находим: ∫			dx =	.
	0	x −1			0	x −1		6
	0				0
1	ln x				π 2
Ответ: ∫			dx =		.
Ответ: ∫			dx =		.
0	x −1				6
0
					5

19. Найдите работу, необходимую для растяжения пружины на 4 см, если для удлинения её на 1 см нужно затратить силу F=3 кГ.

Для растяжения пружины на длину x требуется сила F x = Fx . Тогда на участке (x,

x+dx) буде совершена работа dA = F x dx . Следовательно,

A = ∫F x dxA = F

= F

= 3 8 = 24 кГсм = 0.24 кГм .

Ответ: A = 0.24 кГм.

20. Вычислите работу, необходимую для

выкачивания воды из сосуда, имеющего форму

прямого кругового конуса с вертикальной осью,

обращённой вершиной вниз, если R=3 м, H=8 м.

Уравнение образующей конуса y = Hx / R .

Объём элементарного слоя воды на уровне y будет

равен dV = πx2dy = π

R2 y2

dy . Если плотность воды

H 2

равна 1000 кг/м3, то вес элементарного слоя воды

будет

dP = 1000π

R2 y2

dy . Работа, необходимая для поднятия этого слоя на высоту H-y,

H 2

равна

dA = 1000π

R2 y2

(H − y)dy . Следовательно,

H 2

R2 y2

1000πR2 H

1000πR2

A = ∫1000π

(H − y)dy =

∫ y2 (H − y)dy =

−

]

1000πR2

H 4

1000πR2 H

= 48000π . Ответ: A = 48000π кГм.

[

−

] =

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
27.03.2015655 Кб15m2var09.pdf
#
27.03.2015655 Кб13m2var13.pdf
#
27.03.2015653 Кб15m2var14.pdf
#
27.03.2015652 Кб14m2var15.pdf
#
27.03.2015654 Кб17m2var16.pdf
#
27.03.2015650 Кб15m2var17.pdf
#
27.03.2015660 Кб39m2var18.pdf
#
27.03.2015276 Кб31m3var12.pdf
#
27.03.2015273 Кб13m3var15.pdf
#
01.03.2025342 Кб0Makhnachyov_Vladimir_EK-22.doc
#
04.09.2019337 Кб16makroekonomika_kursovik (1).doc